ALFRÉD RÉNYI – DIALOGER OM MATEMATIK

HIPPOKRATES: Inte nu längre. Var hälsad, Sokrates, det var dig jag sökte, först i Lykeion och sedan på Agora. Där sade man mig att du promenerade här på Illisos strand. Så jag skyndade hit.

SOKRATES: Säg mig då vad som fick dig att söka upp mig; jag skulle även vilja fråga dig om något som sysselsatt mig sedan vårt samtal med Protagoras. Du kommer väl ihåg det?

HIPPOKRATES: Hur skulle jag kunna glömma det samtalet! Jag tänker på det varje dag, och jag skulle vilja be dig om råd just i anslutning till det.

SOKRATES: Det passar ju utmärkt. Du ville alltså tala med mig om detsamma som jag med dig. Således har två saker befunnits vara en och densamma; och ändå säger matematikerna alltid att två aldrig kan vara lika med ett!

HIPPOKRATES: Du kan läsa tankar, Sokrates. Jag skulle just tala med dig om matematik.

SOKRATES: Men du vet väl att jag inte är någon matematiker! Varför går du inte till den höglärde Theodoros?

HIPPOKRATES: Jag är verkligen överrumplad, Sokrates. Du gissar dig till mina frågor innan jag har uttalat dem. Just emedan jag överväger att bli elev till Theodoros, skulle jag vilja be om ditt råd och din mening. När jag nyligen kom till dig och berättade om min avsikt att börja i Protagoras skola, så gick du med mig till honom, och ledde vårt samtal så skickligt, att det blev uppenbart i hur ringa grad Protagoras är i stånd att säga exakt vari det vetande består, i vilket han som sofist undervisar sina elever. Han vet inte alls vad han föreläser om och vad hans vetenskap är bra för. Då gav jag upp mina planer och anslöt mig inte till honom. Det där samtalet visade faktiskt bara vad jag inte skall göra, men inte vad jag skall göra. Sedan dess lämnar mig denna fråga ingen ro. Visserligen lever jag riktigt behagligt; jag idrottar tillsammans med mina jämnåriga, går på gästabud och på andra nöjen, men det tillfredsställer mig inte. Jag oroar mig över att märka hur litet jag vet; närmare bestämt, över att allt jag vet tycks mig osäkert och ogrundat. Särskilt sedan ditt samtal med Protagoras har det stått klart för mig, att jag har alldeles otillräckliga föreställningar om så välkända begrepp som Det goda, Det sköna, Det sanna, vilkas betydelse jag trodde mig känna exakt. Under det samtalet lärde du mig många saker; jag betraktar det som en stor behållning att ha insett hur inskränkt mitt vetande är om dessa begrepp.

SOKRATES: Det gläder mig mycket, Hippokrates, att du har förstått mig så bra. Jag säger ju jämt helt öppet att jag ingenting vet, men till skillnad från de flesta människor inbillar jag mig inte heller veta något, som jag i verkligheten inte vet.

HIPPOKRATES: Det visar utan tvivel, min käre Sokrates, hur mycket visare du är än alla andra; men för mig räcker inte denna sorts visdom. Jag skulle vilja ha säker och välgrundad kunskap och får ingen ro, innan jag förvärvat den. Sedan den där diskussionen med Protagoras frågar jag mig ofta vem jag skall vända mig till och vad jag skall lära mig, eftersom det inte lönar sig att gå i skola hos solisterna. Nyligen samtalade jag med Theaitetos; han sade mig, att den sorts vetande, som jag skulle vilja uppnå, kan man bara finna i matematiken, och han rådde mig att studera matematik för hans lärare Theodoros, då ingen i Aten förstår sig bättre på tal och geometri än han. Nu ber jag om ditt råd; ty jag vill inte fatta ett beslut, som jag senare åter får ångra, vilket hände när jag ville bli Protagoras elev. Var snäll och tala om för mig, Sokrates, kommer jag att finna vad jag söker om jag blir elev till Theodoros och lär mig matematik hos honom, eller anser du även det vara gagnlöst?

SOKRATES: Du hedrar mig alltför mycket med din fråga, Hippokrates. Jag kan ingenting annat säga dig, än att du inte kan vända dig till någon bättre mästare än min högt ärade vän Theodoros, om du vill lära dig matematik. Men huruvida det är riktigt att välja matematikstudier måste du avgöra själv, ty när allt kommer omkring måste du känna dina egna önskningar.

HIPPOKRATES: Men Sokrates, varför vill du inte hjälpa mig? Har jag kanske sårat dig? Skulle jag ha gjort det ofrivilligt, så säg mig rent ut hur jag kan gottgöra det.

SOKRATES: Du missförstår mig, Hippokrates. Jag skulle gärna vilja hjälpa dig, men du begär det omöjliga av mig. Hur kan jag besluta i ditt ställe, vad du skall göra? Med denna fråga måste var och en själv komma till rätta. Det enda jag kan göra för dig, består i att jag med min förlossningskonst lämnar ett slags födslohjälp åt ditt eget beslut.

HIPPOKRATES: Neka mig då inte denna hjälp, Sokrates, och om du har tid nu, så låt oss börja med detsamma.

SOKRATES: Nåväl, ser du den höga platanen där borta? Låt oss lägga oss i skuggan av den och sätta igång. Men säg mig först, om du är beredd att föra det här samtalet i enlighet med mitt sätt. Nämligen så, att jag ställer frågor till dig och du svarar på dem. Du får inte heller glömma, att du inte kan ha någon annan nytta av ett sådant samtal än den, att bättre urskilja vad du redan tidigare visste, och att vi bara kan uppenbara vad som redan finns hos dig i form av ett frö. Jag hoppas, att du inte kommer att uppträda som kung Dareios, som lät avrätta föreståndaren för sin gruvanläggning, emedan denne bara uppfordrade koppar ur en gruva, där den förre hoppades finna guld. Kungen hade glömt bort, att en gruvarbetare bara kan hämta fram ur jorden det som finns i den. Jag hoppas, att du inte blir offer för samma villfarelse som Dareios.

HIPPOKRATES: Jag svär vid Zeus att jag inte skall förebrå dig något; men nu ber jag dig att inte hålla mig på sträckbänken längre, utan låt oss börja prospekteringen.

SOKRATES: Som du önskar. Säg mig då till att börja med: Vad är egentligen matematik? Jag får väl ändå anta, att du vet vad det är som du vill studera?

HIPPOKRATES: Den frågan kan ju varje barn besvara. Matematik är en vetenskap, och rent av en av de allra yppersta.

SOKRATES: Jag ville inte höra någon lovsång över matematiken, utan jag ville veta vad det rör sig om därvidlag. Men för att du bättre skall begripa, vad som är oklart för mig, låt oss först ta en annan vetenskap, t. ex. medicinen. Stämmer det, om jag säger, att medicin är vetenskapen om sjukdomarna och om hälsan? Och att dess mål är de sjukas botande och hälsans upprätthållande hos de friska?

SOKRATES: Vad för sjukdomar det finns, hur man skiljer dem åt och kan bota dem, det vet bara medicinarna, och till och med de vet ännu tämligen litet. Men medicinens ämne och ändamål känner faktiskt varje barn till. Men är det inte en smula annorlunda med matematiken?

HIPPOKRATES: Var snäll och förklara då denna skillnad för mig, Sokrates, ty jag kan inte se den tydligt.

SOKRATES: Tänk efter ordentligt. Har medicinen ett objekt, som existerar, eller ett, som inte existerar? Skulle det finnas sjukdomar, även om det inte funnes några läkare?

SOKRATES: Låt oss nu ta ännu en vetenskap. Astronomen sysslar med stjärnorna och deras rörelse, eller hur?

SOKRATES: Och om jag nu frågar dig om objektet för astronomin existerar eller inte, vad svarar du?

HIPPOKRATES: Det är självklart, att astronomin sysslar med ett objekt som existerar.

HIPPOKRATES: Säkerligen. Och till och med om Zeus i vredesmod förintade hela mänskligheten, skulle stjärnorna fortsätta att lysa på himlen om natten. Men varför talar vi om astronomin och inte om matematiken?

SOKRATES: Var inte så otålig, min vän. Låt oss samtala i lugn och ro om några andra vetenskaper och yrken också, innan vi kommer till matematiken, så att vi får något att jämföra matematiken och matematikens verksamhet med. Hur skulle du beteckna en man som undersöker djur och växter, och som vet vad för varelser som fyller skogarna och havsdjupen?

SOKRATES: Du är alltså ense med mig, om jag säger, att också denne man undersöker något som existerar i naturen?

SOKRATES: Och hur skulle du beteckna en man, som sysselsätter sig med bergarter och vet vilka av dem som är järnhaltiga?

SOKRATES: Befattar sig då en sådan man med ting som existerar, eller med ting som inte existerar?

SOKRATES: Jaha, och säg mig nu, Hippokrates, vad matematikens ämne är, vad matematikern undersöker.

HIPPOKRATES: Det frågade jag Theaitetos också, och han svarade mig att matematikern undersöker tal och geometriska former.

SOKRATES: Det svaret är tydligt, och han skulle inte ha kunnat finna ett bättre. Men tänk ordentligt nu: Kan vi säga att tal och former är ting som existerar?

HIPPOKRATES: Det anser jag utan tvivel; ty hur skulle vi annars kunna tala om dem?

SOKRATES: Ja, men det finns något som besvärar mig. Låt oss exempelvis se på primtalen. Existerar de på samma sätt som stjärnorna eller fiskarna? Funnes det primtal, även om det inte funnes några matematiker?

HIPPOKRATES: Det börjar långsamt klarna för mig vart du vill komma. Jag ser redan att saken inte är så enkel som jag antog, och jag måste tillstå, att jag inte vet hur jag skall besvara din fråga.

SOKRATES: Låt oss ställa frågan på ett annat sätt: Du är alltså av den meningen, att stjärnorna skulle finnas kvar på himlen, även om man inte iakttog dem, och att fiskarna skulle simma omkring i havet, även om ingen fångade dem, vare sig för att äta dem eller för att undersöka dem?

SOKRATES: Men vad skulle det bli av primtalen, om matematikerna inte sysslade med dem?

HIPPOKRATES: De skulle säkert inte vara någonstans; ty når matematikerna tänker på primtal, så existerar primtalen i deras huvuden. När ingen tänker på primtalen, då finns de heller inte.

SOKRATES: Måste vi inte i det här fallet säga, att matematikerna sysslar med ting, som utan dem inte alls funnes?

SOKRATES: Om jag således säger, att matematikerna sysselsätter sig med något som inte alls existerar, eller åtminstone inte existerar på det sätt som stjärnorna eller fiskarna, säger jag då sanningen?

SOKRATES: Låt oss för säkerhets skull ta upp frågan grundligt än en gång. Det skulle inte vara rätt att förhasta sig. Har du någon vaxtavla med dig?

SOKRATES: Följ med noga nu! Jag skriver ned ett tal här, säg 37. Existerar detta tal?

HIPPOKRATES: Du vill nog driva med mig, käre Sokrates? Titta här, på samma tavla tecknar jag nu ett lejon och en drake med sju huvuden. Båda figurerna kan man se på samma sätt på vaxtavlan. Nu finns det verkligen lejon, men drakar finns det inte. Åtminstone har jag aldrig sett någon, och likadant är det rent av med de äldsta människor jag träffat. Men om jag skulle missta mig och det likväl funnes några, om det så skulle vara bortom Herakles stöder, så skulle det på intet sätt förändra situationen; ty inte heller då skulle drakarna finnas bara för att jag på denna tavla har tecknat en produkt av min fantasi. Om det överhuvud taget funnes drakar, då skulle de finnas även om jag inte tecknat några.

SOKRATES: Du har rätt, Hippokrates, och efter vad jag kan se fångar du sanningen i flykten. Innebär det nu att talen inte existerar i verkligheten, fastän vi kan tala om dem och skriva upp dem?

HIPPOKRATES: Ja, eller åtminstone att de inte existerar på samma sätt som lejon eller stjärnor.

SOKRATES: Vi måste akta oss för förhastade slutsatser. Låt oss därför se på problemet ännu en smula grundligare. Vi kan ju räkna fåren här på ängen eller skeppen i Piraeus hamn, eller hur?

SOKRATES: Men om fåren existerar, existerar då inte också talen, som man räknar med? Tycks det inte nu som om matematikerna ändå sysslar med något existerande?

HIPPOKRATES: Du vill nog göra narr av mig nu igen, min käre Sokrates? Men här går du för långt; när allt kommer omkring förspiller inte matematikerna sin tid på att räkna får. Det gör herdarna, och för det behövs inte någon särskild lärdom.

SOKRATES: Får jag förstå dig så, att matematikerna inte sysslar med att räkna får eller skepp, utan att de befattar sig med talen i sig? De befattar sig således egentligen med ting som inte alls finns utanför deras tänkande?

SOKRATES: Om jag minns rätt, sa du – som du hade hört av Theaitetos – att matematikerna sysslar med tal och geometriska former. Låt oss undersöka om det förhåller sig likadant med de geometriska formerna som med talen. Om jag frågar dig huruvida geometriska former existerar, vad svarar du?

HIPPOKRATES: Att de existerar. Man kallar ju en vas välsvarvad om den har en vacker form. Vi ser formerna med våra ögon, vi berör dem med våra händer, alltså är vi berättigade att säga att de existerar.

SOKRATES: Min käre Hippokrates, du har talat utmärkt bra och hade faktiskt så när övertygat mig. Men får jag peka på en punkt som fortfarande är oklar för mig?

SOKRATES: Det måste du själv bedöma. När du ser en vas, vad ser du när allt kommer omkring? Vasen eller dess form?

SOKRATES: Kanske är det med vasen som med fåret. Du ser fåret och du ser ullen hos fåret. Är det så?

SOKRATES: Mig tycks det då som om jämförelsen haltar som Hefaistos. Du kan ju i alla fall klippa fåret och titta på fåret utan ullen och på ullen utan fåret. Kan du på samma sätt skilja vasen från dess form?

SOKRATES: Vill du alltjämt göra gällande att man kan se de geometriska formerna?

SOKRATES: Just nu tycks det mig åtminstone som om vasens form, skild från vasen, inte alls kan existera. Men säg mig, om matematikerna verkligen skulle befatta sig med formen hos vaser och krukor, vore det då inte lämpligare att kalla dem krukmakare?

SOKRATES: Om matematikerna skulle syssla med vasers och krukors form, vore då inte Theodoros den bäste krukmakaren, en mästare i konsten att göra vaser och krukor? Han vet ju när allt kommer omkring det mesta om de geometriska formerna. Tror du att han vore i stånd att framställa det enklaste kärl?

HIPPOKRATES: Många människor har visserligen inför mig lovprisat Theodoros. Fördenskull vill jag ju också bli hans elev. Men att han skulle förstå sig på krukmakerikonst har faktiskt ingen ännu sagt mig.

SOKRATES: Och hur vore det om matematikerna skulle befatta sig med formerna hos byggnader, pelare eller statyer? Vore de inte arkitekter eller bildhuggare då?

SOKRATES: Nå, Hippokrates, i så fall tycks det mig likväl som om matematikerna inte alls sysslar med formerna hos verkliga föremål, utan snarare med. formerna i sig, utan att bry sig så mycket om föremålen, som är bärare av denna form. Matematikerna befattar sig inte alls med former som man kan se eller känna, som alltså existerar i ordets vanliga betydelse, utan med former, som bara existerar i deras egna tankar. Är du också av den åsikten?

SOKRATES: Vi har alltså fastställt att matematiken undersöker ting som bara existerar i tanken. Låt oss nu åter se på Theaitetos påstående, enligt vilket matematiken skulle vara säkrare och ofelbarare än varje annan vetenskap. Var snäll och säg mig, min käre vän, stödde sig Theaitetos därvid på exempel, eller talade han bara i allmänna ordalag?

SOKRATES: Skulle du kunna nämna några av hans exempel, så att jag också kunde lära mig något av dem?

HIPPOKRATES: Jag skäll åtminstone försöka, men om mitt minne sviker mig och jag uttrycker mig dåligt, så skall du inte tadla Theaitetos för det, utan mig.

HIPPOKRATES: Han sade, exempelvis, att det skulle vara omöjligt att helt exakt ange avståndet mellan Sparta och Aten. Alla, som tillryggalagt sträckan, är eniga om hur många dagsresor som behövs för det. Men om antalet steg kunde man inte enas. Med vilken noggrannhet man än mätte avståndet, helt exakt skulle aldrig mätningen bli. Om man mätte en andra gång, skulle det säkert finnas en skillnad mellan de båda längderna. I motsats härtill skulle vi emellertid vara i stånd att enligt Pythagoras ange den exakta längden hos diagonalen i en kvadrat, och härom skulle alla människor vara eniga, som har begripit vad saken gäller.

SOKRATES: Theaitetos har säkert rätt, och du har säkerligen precis återgett hans ord, det sluter jag ur deras övertygelseförmåga. Skulle du kunna anföra ännu ett exempel?

HIPPOKRATES: Ja, han sade att man ej kunde veta med absolut noggrannhet hur många människor som finns i Hellas; ty om man skulle försöka räkna dem, så skulle under räknandets gång födas barn, gamla människor skulle dö, fartyg avgå och anlända. I varje fall skulle man bara kunna besvara en sådan fråga approximativt. Skulle man däremot fråga en matematiker hur många kanter en dodekaeder har, då skulle han kunna ge ett svar som inte lämnade utrymme för någon osäkerhet; ty dodekaedera begränsas av tolv femhörningar, var och en av dessa har fem kanter och varje kant i en sådan femhörning hör till två av dodekaederns sidor. Följaktligen har dodekaedern trettio kanter.

HIPPOKRATES: Han nämnde rätt många till. Jag kunde inte lägga dem alla på minnet. Men han sade bland annat, att det i verkligheten inte kan finnas två ting, som är exakt lika varandra. Så till exempel är Poseidontemplets pelare mycket lika varandra, men de kan ändå inte vara exakt lika. Det finns inte heller två ägg, som liknar varandra fullständigt. Däremot är en rektangels båda diagonaler sträckor, som verkligen är av samma längd. I det fallet finns ingen olikhet. Likaså är de båda vinklarna vid basen hos en likbent triangel fullständigt lika varandra. Han sade också, att allt som existerar förändrar sig, såsom ju redan Herakleitos lärde, och säker kunskap skulle vi bara kunna ha om de ting som inte förändras, som kanhända det jämna och det udda, cirkeln och den räta linjen.

SOKRATES: Dessa exempel kan räcka. Theaitetos har nu också övertygat mig om att vi i matematiken kan uppnå helt säker kunskap, i motsats till andra vetenskaper och till vardagslivet. Men nu borde vi sammanfatta och kontrollera hur långt vi egentligen har kommit i våra överläggningar. Det verkar som om matematiken sysslar med ting som inte existerar, men att den uppnår oantastliga sanningar om dem. Kan vi hålla fast vid det, som resultat av vårt grundliga resonemang? Eller vore det en inadekvat sammanfattning av vårt hittillsvarande samtal?

SOKRATES: Hör nu noga på, Hippokrates! Finner du det inte märkvärdigt att vi kan uppnå tillförlitligare och säkrare kunskap om något som överhuvud taget inte existerar, än om ting som existerar?

HIPPOKRATES: Det är verkligen märkvärdigt, och jag förstår inte hur det är möjligt. Jag ser visserligen inget fel i våra resonemang, men något galet måste det vara med dem. Jag kan däremot inte säga vad.

SOKRATES: Och ändå har vi under vår diskussion ofta stannat upp och betraktat frågorna från flera håll. Där kan felet inte ligga. Men en tanke faller mig just in, som kunde hjälpa oss vid uppklarandet av denna gåta.

SOKRATES: I morse var jag i rättssalen. Man förhandlade i ett mål mot hustrun till en snickare från byn Pitthos, som anklagades för att ha bedragit sin man och dödat honom med bistånd av sin älskare. Kvinnan nekade envist och svor vid Artemis och Afrodite, att hon aldrig hade älskat någon annan än sin man, och att det varit rövare som dödat honom. Väldigt många vittnen gjorde utsagor; somliga sade att kvinnan var skyldig, somliga gick ed på hennes oskuld. Vad som verkligen hade hänt kunde man inte få fram.

HIPPOKRATES: Driver du med mig, Sokrates? I stället för att hjälpa mig att finna sanningen, berättar du alla möjliga historier för mig!

SOKRATES: Men var inte så otålig, min käre Hippokrates! Jag har ju mina skäl för att berätta om den där kvinnan, ur vilken man inte fick fram om hon var skyldig eller inte. En sak kan man emellertid säga om den kvinnan: att hon existerar. Ty jag såg henne med egna ögon, och inte bara jag ensam, utan alla människor, som var närvarande där i rättssalen. Jag kan räkna upp några hedervärda personer, som förtjänar förtroende och ännu aldrig har farit med osanning, eller ens drömt om det.

HIPPOKRATES: Det är alldeles överflödigt, Sokrates. Du räcker för mig fullkomligt som vittne; men jag ber dig att äntligen säga mig vad den där kvinnan har med ämnet för vår undersökning att göra.

SOKRATES: Mer än du tror. Du känner väl till berättelsen om Agamemnon och Klytaimestra?

HIPPOKRATES: Vem gör inte det! Jag har för övrigt sett Aischylos trilogi på teatern.

HIPPOKRATES: Under det att Agamemnon, konungen av Mykene, låg i fält utanför Tröjas murar, hade hans hustru Klytaimestra en förbindelse och var honom otrogen med Aigisthos, hennes mans kusin. När Agamemnon kom tillbaka efter Tröjas fall, mördade Klytaimestra honom med sin älskares hjälp.

SOKRATES: Säg mig nu, Hippokrates, hur visste Aischylos att Klytaimestra verkligen hade bedragit och mördat sin man?

HIPPOKRATES: Jag förstår inte varför du frågar mig om saker, som varje grek vet besked om. När allt kommer omkring har ju också Homeros berättat den här historien. När Odysseus nedsteg i underjorden, råkade han Agamemnons skugga, som själv berättade sin sorgliga historia för honom.

SOKRATES: Säg mig nu, Hippokrates, om du är säker på att Agamemnon och Klytaimestra verkligen har levat och på att Homeros berättelse om denna sak motsvaras av fakta?

HIPPOKRATES: Man må stena mig, om man efter så många århundraden med säkerhet kan säga, om de där personerna verkligen har levat, och om så är fallet, vad som var deras verkliga öde. Men det har egentligen ingen betydelse, ty då vi talar om Agamemnon och Klytaimestra, tänker vi inte på varelser av kött och blod, som verkligen har levat, utan helt enkelt på de personer som uppträder i Aischylos tragedi, såsom han fann dem i den homeriska traditionen.

SOKRATES: Kan vi således säga att vi så gott som ingenting vet om den verkliga Klytaimestra och den verklige Agamemnon, om de överhuvud taget har levat? Men att vi vet med absolut visshet vad Aischylos har sagt om den Klytaimestra och den Agamemnon, som förekommer i hans tragedi? Och att vi med full visshet kan fastställa, att den Klytaimestra, om vilken Aischylos talar, har bedragit och mördat den Agamemnon, som likaså förekommer i tragedin. För just så är det ju i skådespelet?

HIPPOKRATES: Det är bra sagt, men jag förstår fortfarande inte vart du vill komma.

SOKRATES: Helt enkelt till följande: Personerna som förekommer i tragedin är ju människor som inte finns i verkligheten, eller hur?

SOKRATES: Får jag nu åter sammanfatta: Vi kunde tvivelsutan fastställa att Klytaimestra från tragedin, som hittades på av diktaren, men som sannolikt aldrig har funnits i verkligheten, bedrog och mördade tragedins Agamemnon, under det att vi inte vet säkert beträffande kvinnan av kött och blod, som idag stod inför rätta, huruvida hon har bedragit och mördat sin man eller inte. År det så?

HIPPOKRATES: Jag har en svag aning om vart du vill komma, men jag skulle hellre se, att du trots allt själv drog slutsatserna.

SOKRATES: Jag tror, Hippokrates, att det härvid rör sig om samma sak som i matematiken. Vi är i stånd att göra mycket säkrare utsagor om människor, som inte finns i verkligheten, utan bara i tanken, ungefär som personerna i en teaterpjäs, än om människor som lever och verkligen finns till. Ty när vi fastslår att Klytaimestra var skyldig, då gör vi intet annat än följande: Vi fastslår, att den Klytaimestra var skyldig, som diktaren uppfann och beskrev, och detta framgår helt utan tvivel av hans tragedi. Men det är exakt likadant som i exemplet med rektangeln, som matematikerna talar om. Om den kan vi med säkerhet säga att dess diagonaler är lika, ty det framgår absolut klart ur begreppet rektangel, som matematikerna definierar det.

HIPPOKRATES: Du vill således tydligen säga följande, Sokrates: Vårt konstaterande, att matematikerna kan ha mycket säkrare kunskap om de ting, som bildar föremål för deras undersökningar, och som inte finns i verkligheten, än naturforskaren om de ting som verkligen finns, är faktiskt ett korrekt konstaterande, hur förvånande det än först förefaller. Om man förresten funderar en stund på saken, så är det inte alls så förvånande längre. Att vi kan få fram hela sanningen om dem, det beror just på det, att matematikens föremål inte existerar faktiskt, utan bara i så måtto som matematikerna tänker på dem. Skälet är att de är just det som man tänker om dem. Det är annorlunda med ting och människor, som förekommer i verkligheten. Dessa är särskilda från bilden, som man gör sig av dem.

SOKRATES: Ser du, nu har du själv funnit ut det, Hippokrates, och du uttrycker det rent av utomordentligt klart.

HIPPOKRATES: Jag är dig mycket tacksam, Sokrates, för att du har lett mig till denna insikt. Theaitetos hade rätt när han sade att jag måste syssla med matematik om jag åtrår säker kunskap, kunskap, som inte bara rymmer någon sanning, utan som helt enkelt är sanning. Nu förstår jag också varför matematiken är så osviklig. Men när du redan har ådagalagt så mycket tålamod med mig, så var snäll och lämna mig inte ännu i sticket; ty dilemmat, i vilket jag befinner mig, är ingalunda löst. Det tycks mig rent av som om vi inte en gång har snuddat vid den viktigaste frågan än.

HIPPOKRATES: Jag kom till dig, Sokrates, för att be dig om råd huruvida jag bör bli lärjunge till Theodoros. Du har gjort klart för mig vad matematiken sysslar med och varför den ger säker kunskap. Jag har förstått, att det är matematikern själv som skapar de begrepp, som han sedan studerar. Och att han just av det skälet kan komma underfund med hela sanningen om de ting, som bara finns i hans tankar, och vilka alltså är precis sådana som man föreställer sig dem. Jag begriper att jag kommer att uppnå säker insikt, om jag ägnar mig åt studiet av matematiken. Men jag förstår fortfarande inte till vad nytta detta är. Varje barn begriper ju i alla fall att det har en mening att veta något om de ting som finns. När man tillägnar sig kunskap om stenar, djur eller växter, så kan man dra nytta av det för sin egen och andras del. Även när man uppnår mer eller mindre trovärdig kunskap om stjärnorna, har man nytta av det; ty man kan med hjälp av den orientera sig på havet nattetid. Men för vad är kunskap bra, som handlar om något som inte alls finns? Var snäll och svara mig på det, Sokrates.

SOKRATES: Min käre Hippokrates, jag tror att du redan vet svaret mycket väl. Du vill säkert bara sätta mig på prov!

HIPPOKRATES: Vid Herakles, jag försäkrar dig att jag inte har en aning om hur svaret kan lyda.

SOKRATES: Nåväl, om det är så, svara mig då på mina frågor. Säg mig, Hippokrates: Vi insåg att matematikern själv skapar de begrepp han undersöker. Innebär det att matematikern hittar på dessa begrepp helt efter eget gottfinnande?

HIPPOKRATES: Det tror jag allt. Vi har ju jämfört matematiken med litteraturen. Jag tror att matematikern väljer sina begrepp med samma frihet som diktaren personerna i sin pjäs. Och, som diktaren förlänar sina personer deras karaktärer efter egen önskan, så uppdiktar likaledes matematikern sina begrepp och ger dem de egenskaper, som han finner nöje i.

SOKRATES: Om det så vore, min Hippokrates, då funnes det lika många sorters matematik som det finns matematiker; ty om varje matematiker skulle skapa sina begrepp för sitt eget nöjes skull, då kunde det inte ens av en slump förekomma, att alla matematiker sysslade med samma sak. Hur kommer det sig då, att matematikerna är så eniga beträffande de begrepp de undersöker? När de talar om tal menar de alla samma tal, och när det rör sig om räta linjer, cirklar, kvadrater, sfärer och regelbundna kroppar, är det precis likadant.

HIPPOKRATES: Ligger inte förklaringen däri, att människorna alla tänker på samma sätt och att fördenskull en och samma sak tycks dem riktig?

SOKRATES: Min käre Hippokrates, vi skall väl inte nöja oss med en förklaring, förrän vi har betraktat den ur alla synvinklar. Hur förklaras den ofta förekommande händelsen, att matematiker, som lever långt från varandra, den ene, låt oss säga, i Tarent, och den andre på ön Samos, upptäcker samma sanning, utan att de vet om varandra? Däremot har jag ännu aldrig hört talas om att två diktare, som inte vet om varandra, skulle ha skrivit samma poem.

HIPPOKRATES: Det har inte heller jag någonsin hört sägas. Däremot kommer jag genom din fråga särskilt att tänka på en iakttagelse av Theaitetos. Han har upptäckt en mycket intressant sak. Om jag minns rätt handlade det om inkommensurabla sträckor. När han delgav Theodoros det, visade denne honom ett brev från Archytas, i vilket berättades om samma upptäckt.

SOKRATES: Ser du, min bäste vän, något sådant kan inte förekomma i litteraturen. Men jag kan också räkna upp andra argument för dig. Hur kommer det sig att matematikerna alltid kan enas om vad som är sant? När det däremot rör sig om politik, måhända om frågan vilken statsform som är den bästa, så tänker inte bara perserna, utan även spartanerna annorlunda än vi. Till och med atenarna är för det mesta inte eniga på den punkten. Hur är det med den saken?

HIPPOKRATES: Men här är svaret likväl mycket enkelt, Sokrates. I politiken drivs människor inte bara av längtan efter sanning, de påverkas fastmer av personliga intressen, som somliga tillgodoser på andras bekostnad. I matematiken förekommer ingenting sådant. Matematikern känner bara ett mål: att upptäcka sanningen.

SOKRATES: Vill du därmed säga, Hippokrates, att alla matematiker eftersträvar att omfatta en sådan sanning, som ligger helt utom dem själva, som är fullkomligt oberoende av deras person?

SOKRATES: Då kan vi således säga att matematikerna inte väljer sina begrepp helt och hållet godtyckligt, fastän de uppenbarligen skulle kunna göra det, utan att de av skäl, som för ögonblicket ännu är oklara för oss, undersöker samma begrepp och eftersträvar att om dessa begrepp utröna sådana sanningar, som ligger helt utom dem själva. Vi har bara ännu inte förstått varför de gör det. Är det så?

HIPPOKRATES: Så är det nog, men låt oss söka lätta på hemlighetens slöja.

SOKRATES: Om du fortfarande har en smula tålamod kvar så kan vi försöka det. Säg mig, i vilken utsträckning finns det en likhet mellan sjöfararen, som upptäcker en hittills okänd ö, och målaren, som blandar till en färg som ingen någonsin förut har framställt?

HIPPOKRATES: Jag förmodar att båda har berikat mänskligheten med en upptäckt.

HIPPOKRATES: Sjöfararen kunde man kalla "upptäckare"; ty han upptäcker något – nämligen en ö –, som visserligen fanns redan förut, men om vilken ingen människa före honom ännu visste något. Målaren däremot skulle man snarare kalla "uppfinnare"; för han uppfinner något, en ny färg, beträffande vilken det inte bara är så att ingen tidigare visste något, utan att den förut inte ens existerade.

SOKRATES: Du hade inte kunnat säga det mer precist! Men säg mig nu din åsikt: När en matematiker finner en ny matematisk sanning, upptäcker han då den eller uppfinner han den?

HIPPOKRATES: För mig är det en tämligen svår fråga, för jag har ännu inte alls någon egen erfarenhet i saken; men efter vad Theaitetos berättade för mig om de undersökningar, som Theodoros och han tillsammans utför, så tror jag att man likväl snarare måste beteckna matematikerna som upptäckare, hur stor likhet de än har med uppfinnare. Det är just det hos matematiken som utövar dragningskraft på mig. Matematikerna synes mig som oförvägna sjöfarare, som folk, vilka seglar ut på andens obekanta hav, för att rekognoscera dess kuster, öar och bråddjup.

SOKRATES: Förträffligt sagt, min Hippokrates! Också mig förefaller matematikerna snarare vara upptäckare än uppfinnare. Men varför drog du nyss på svaret ett ögonblick? Vad tänkte du på, när du sade, att matematikern likväl också kunde ha en viss likhet med en uppfinnare?

HIPPOKRATES: Jag tänkte på det, som vi talade om förut, att matematikern själv skapar de begrepp han undersöker. När matematikern bildar ett nytt begrepp, gör han det som uppfinnare, men när han utforskar begreppen, som han själv eller någon annan har framlagt, och när han formulerar utsagor om dem – teorem, för att tala matematikernas språk – och bevisar dessa, så gör han detsamma som en upptäckare. Att döma av allt som Theaitetos sade mig, spelar upptäckten av teorem i matematikerns arbete till synes en större roll än uppfinnandet av begrepp; ty till och med de enklaste begrepp, som till exempel begreppet tal eller begreppet delbarhet, leder redan till så många och djupliggande problem, att matematikerna intill dags dato bara lyckats lösa en liten del av dem.

SOKRATES: Det är uppenbart, min käre Hippokrates, att din vän Theaitetos redan undervisat dig i mycket, och, som jag ser, med framgång. Det verkar som om du rätt väl känner i vilken utsträckning matematikern är upptäckare, och i vilken han är uppfinnare. Hur ställer du dig till följande sammanfattning av din mening: Matematikern är upptäckare framförallt; uppfinnare är han bara såtillvida som varje upptäckare måste vara det. Om en sjöfarare vill segla till farvatten, dit ännu ingen seglat före honom, då måste han även vara uppfinnare och bygga sig ett skepp som bättre motstår stormar än hans föregångares skepp. Vad jag vill säga är att de nya begrepp, som en matematiker framlägger, är ungefär som moderna skepp, vilka bär sjöfararen, som är ute på upptäcktsfärd, fortare och säkrare än alla hans föregångare över det stormiga havet i nya områden.

HIPPOKRATES: Min käre Sokrates, det finns säkert ingen människa i Aten, och jag tror inte ens i hela Hellas, som behärskar diskussionskonsten mer utstuderat än du. Alltid när du sammanfattar vad jag sagt, smugglar du in något, som jag kanske redan anade, utan att jag förmådde uttrycka det med sådan klarhet, och som å andra sidan för oss framåt. Av din sammanfattning framgår alldeles tydligt, att matematikern har som mål att utforska hemligheterna i tankens ocean. Begreppsbildningen är alltid bara ett hjälpmedel. Fastän matematikern kan definiera nya begrepp helt godtyckligt, är detta godtycke bara skenbart. När allt kommer omkring har ju också sjöfararen, som ger sig av på upptäcktsfärd, frihet att konstruera sin båt som han behagar, men han är inte så dum att han lättar ankar med en båt som slås i spillror av första storm. Han bygger snarare en båt, som i alla avseenden tycks honom bäst. I ljuset av denna liknelse blir det också helt klart varför matematikerna använder sig av samma begrepp, åtminstone de matematiker, som är samtida och står i förbindelse med varandra. Det är likadant som när sjöfolket utbyter erfarenheter och alla seglar med samma beprövade skeppstyp. Jag tror att jag nu ser tydligare än någonsin förut, vad matematik egentligen är.

SOKRATES: Bra. Om så är, så försök att återigen säga mig: Vad är matematik?

HIPPOKRATES: Jag skall försöka. Det kommer minsann säkert åter att visa sig att jag alltjämt bara fattar en del av sanningen.

HIPPOKRATES: Som jag ser det nu, uttryckte vi oss felaktigt när vi sade att matematiken sysslar med ting som inte alls finns i verkligheten. Dessa ting existerar ändå, bara inte på samma vis som stenar eller träd. Vi kan inte se dem, inte beröra dem, vi kan bara omfatta dem med våra tankar. Men dessa ting existerar likväl, om också på annat sätt än de vanliga föremålen. När vi tänker på dem, då tänker vi på detsamma som alla som sysslar med matematik, alltså tillkommer det dessa ting en viss sorts existens, oberoende av vår egen person, fastän var och en av oss endast kan föreställa sig dem i sina egna tankar. Det finns alltså en annan värld, matematikens värld, som är någonting annat än den vanliga världen, som vi lever i. Matematikerna är dristiga sjöfarare, som utforskar denna andra värld, och därvid inte ryggar tillbaka för svårigheter och faror.

SOKRATES: Min käre Hippokrates, din entusiasm är nära att rycka mig med, men jag fruktar likväl, att du i din hänförelse har glidit alltför raskt över några frågor.

HIPPOKRATES: Vad är det för frågor, Sokrates? Du har redan offrat så mycket av din tid på mig, bli nu inte stående halvvägs, är du snäll, utan säg vad jag har glömt!

SOKRATES: Jag hoppas att du inte kommer att anse det vara hårklyveri, men det förefaller mig som om vi fortfarande inte har funnit svaret på din fråga. Säkerligen förstår vi båda nu bättre än före vårt samtal vad matematik egentligen är. Men på det hela taget har vi ännu inte besvarat frågan om meningen med och ändamålet för matematiken, denna det mänskliga tänkandets ocean.

HIPPOKRATES: När jag tänker noga efter har du faktiskt rätt. Jag var nöjd redan när jag insåg skälet för att man kan vinna säkert grundad kunskap, om man studerar matematik. Om jag fördjupar mig i studiet av den underbara världen, kommer det säkert att förskaffa mig en härlig känsla, som jag hittills ingenstans funnit: Att det finns sanningar som inte lämnar någon plats för tvivel. När jag begrep att matematikens värld existerar oberoende av mig, om också inte på samma sätt som stenarna och träden, utan just på sitt eget sätt, men icke desto mindre verkligt, så styrkte det mig ännu mer. Men faktiskt, vad skall det tjäna till att utforska denna värld? Tror du inte, att vi skulle komma fortare till målet om du denna gång undantagsvis avstod från din metod och helt enkelt svarade på mina frågor? Jag fruktar nämligen att jag inte skulle vara i stånd till att finna förnuftiga svar.

SOKRATES: Även om det vore möjligt för mig att ge ett svar alldeles själv, så skulle jag inte göra det, ty du skulle inte få ut något av det. Människorna begriper bara det de själva upptäcker. När man helt sonika slänger en tanke i huvudet på dem, så går den in genom ena örat och ut genom det andra. Det är som när man vattnar växter. En växt kan inte leva utan vatten, men vattnet som man begjuter dess blad med har den inte mycket nytta av, det rinner helt enkelt av. Endast det vatten som den suger upp med sina rötter kan den tillgodogöra sig.

HIPPOKRATES: Nåväl, låt oss följa din metod; men hjälp mig åtminstone att komma igång, ty jag sitter fast som ett skepp på grund.

SOKRATES: Såvitt jag kan se, min Hippokrates, måste vi följa tråden i vårt samtal tillbaka, om vi vill komma framåt.

SOKRATES: Jag tror att vi måste återvända till den punkt, där vi sade att matematikern inte räknar får och skepp, utan sysselsätter sig med talen i sig, att han inte befattar sig med formen hos kärl och andra föremål, utan med formen i sig. Och hör nu noga på! Vad matematikern kommer underfund med beträffande talen, när han studerar dem för sig själva, oberoende av varje konkret objekt, kan man inte sedan tillämpa det på får? Om, exempelvis, matematikern fastställer att 17 är ett primtal, betyder inte det då också att man inte kan fördela 17 levande får på flera personer på så sätt att var och en tilldelas lika många får, utom om det är 17 personer och var och en erhåller ett får?

SOKRATES: Kan man alltså säga att man kan tillämpa det som matematikern kommer underfund med beträffande talen på faktiskt existerande ting?

SOKRATES: Lät oss nu undersöka om det inte är likadant i geometrin! Är det inte så att arkitekten har stöd av geometrins lärosatser, vilka matematikerna har upptäckt, när han ritar en byggnadsplan? Använder han sig inte av Pythagoras berömda sats när han ritar en rät vinkel?

SOKRATES: Och när krukmakaren gör ett krus eller när sjöfararen låter räkna ut hur mycket säd som ryms i lastrummet på hans skepp, har de då inte också nytta av matematik?

HIPPOKRATES: Jo visst, men jag tror att dessa hantverkare inte behöver mer matematik än det som redan de egyptiska skrivarna visste. Av de senaste upptäckterna, som Theaitetos skildrat så entusiastiskt för mig, skulle bestämt hantverkarna inte få mycket ut, även om de skulle begripa dem; men efter vad jag tror, har ingen av dem någonsin hört talas om detta.

SOKRATES: Du har rätt, Hippokrates, men samtidigt återigen fel. Det kan komma en tid då människorna kan dra nytta av alla dessa upptäckter i praktiken. Det som idag bara är en teoretisk möjlighet, kan en dag bli påtaglig verklighet, inte sant?

SOKRATES: Men i så fall är du inte konsekvent, Hippokrates. Ty om du vill bli matematiker så innebär det att du vill arbeta för framtiden.

SOKRATES: Erinra dig jämförelsen mellan matematikern och sjöfararen, som ger sig ut på upptäcktsfärd. Säg mig nu, vad som händer när en sjöfarare upptäcker en obekant ö?

HIPPOKRATES: När mannen återvänder berättar han för en massa folk var ön är belägen, om människor kan leva där, om det finns sötvattenskällor där och vilka frukter som trivs därborta. Förr eller senare kommer det alltid att finnas folk med sinne för äventyr som far över havet och tar reda på levnadsbetingelserna på den nyupptäckta ön. Kanske kommer de första att uppslukas av havet eller bli uppätna av vilda djur, kanske råkar banbrytarna i träldom. Det kan också hända att det kommer till strid mellan nybyggarna och att de tar livet av varandra. Men förr eller senare blir ön bebodd och en stad uppstår därborta.

SOKRATES: Så är det förvisso, min vän. Jag ser att du förstår en hel del av det där. Men tänk nu! Ju lättare tillgänglig ön är, ju bättre dess hamnar är, desto fortare blir den bebyggd, inte sant?

SOKRATES: Och hur är det med de avlägsnare öarna utan bekväma landstigningsplatser? Kommer inte de också att bebyggas, om man kan få säd och vin att trivas där?

HIPPOKRATES: Det kommer att gå långsammare, men en dag bosätter sig folk där också.

SOKRATES: Ser du, och varför skulle det då förhålla sig annorlunda med de matematiska upptäckterna?

SOKRATES: Men låt oss lämna framtiden, om du så vill. Svara mig på följande fråga: Hur är det möjligt att tillämpa insikter i matematik på ett nyttobringande sätt, fastän matematikens värld inte är samma värld, som vi lever i? Matematiken sysslar ju med ting som man varken kan se eller röra vid, utan bara kan urskilja i tanken, och ändå kan man begagna sig av dem i vardagslivet. Finner du inte det synnerligen märkvärdigt?

HIPPOKRATES: Nu, när du har påpekat det för mig, framstår det faktiskt rent av som obegripligt.

SOKRATES: Jag tror att om vi fördjupar våra överväganden på den här punkten, så kommer vi inte bara att uppnå klarhet, utan till och med erhålla ett svar på din ursprungliga fråga.

HIPPOKRATES: Min käre Sokrates, var snäll och tala nu inte till mig i pythiska gåtor! Om du har funnit en ny synpunkt, låt då också mig få veta den!

SOKRATES: Det skall snart bli tid för det. Men svara mig dessförinnan på ännu några frågor. Skulle du finna det förvånande att en man, som har rest i många avlägsna länder, som har sett mycket och fått stor erfarenhet, kan lämna goda råd till invånarna i sin hemstad efter hemkomsten?

SOKRATES: Inte heller om det i landet, från vilket mannen kommer, bor ett annat folk, människor som talar ett annat språk och tillber andra gudar?

HIPPOKRATES: Inte ens då, ty skilda folk har mycket gemensamt med varandra, även om de talar olika språk.

SOKRATES: Tänk nu efter en gång till! Om det skulle visa sig att matematikens värld och världen som vi lever i liknar varandra på några punkter, även om de skiljer sig i andra avseenden, skulle du då alltjämt förundras över att matematiken kan vara nyttig för det dagliga livet?

HIPPOKRATES: Om det verkligen är på det sättet, skulle jag inte längre förundras. Men i vilket avseende är matematikens värld och världen vi lever i lika varandra?

SOKRATES: Hittills har vi faktiskt bara talat om skillnaderna; men titta där, ser du klippan på andra stranden av bäcken, där den vidgar sig till en liten sjö?

SOKRATES: Säg mig då: Vari skiljer sig dessa båda ting, och vari överensstämmer de?

HIPPOKRATES: Klippan är ett hårt och massivt objekt, som solen har värmt upp. Om jag rörde vid den skulle jag förnimma dess skrovlighet. Men dess spegelbild i vattnet kan man inte röra vid. Om jag skulle sträcka ut handen mot det ställe där jag ser bilden i vattnet, så skulle jag inte få något annat att ta i än kylig väta. Spegelbilden existerar ju egentligen inte. Den är endast sken och ingenting annat.

SOKRATES: Hittills har du bara räknat upp skillnaderna mellan de båda tingen. Säg mig nu också vari de liknar varandra.

HIPPOKRATES: Spegelbilden är på sitt sätt en trogen avbild av klippan. Alla utsprång och ojämnheter ser man exakt också i spegelbilden. Några små detaljer går förlorade, men de viktigaste konturerna hos klippan ser man också i spegelbilden.

SOKRATES: Om du nu noga iakttog spegelbilden, utan att se på klippan själv, skulle du då exempelvis kunna säga hur man kunde klättra upp på den?

HIPPOKRATES: Helt säkert. Vill du kanhända säga att matematikens värld ingenting annat är än en spegelbild av världen vi lever i?

SOKRATES: Tänk bara närmare efter hur de begrepp som brukas inom matematiken har tillkommit! Vi sade att matematikern tänker varken på antal får eller antal skepp när han sysselsätter sig med tal, utan på talen i sig, oberoende av vilka föremål det vara må. Men skulle man vara i stånd till en sådan abstraktion om man aldrig hade räknat ting, som man kan beröra, som existerar? När man lär barnen att räkna, visar man dem först hur man räknar stenar eller pinnar. Först när barnet kan räkna stenar och träpinnar och har begripit att två stenar och tre stenar gör fem stenar, kan man lära barnet att två ting och tre ting alltid ger fem ting som resultat, och slutligen att två plus tre är lika med fem. Precis likadant förhåller det sig med de geometriska formerna. Bara ett barn som känner till bollar och andra runda föremål, kan komma fram till begreppet sfär och vara i stånd till att ur sin egen erfarenhet bygga upp det abstrakta begreppet sfär. Och det är inte bara så beträffande barnen, just på det sättet har långsamt och gradvis de matematiska grundbegreppen uppstått. Det finns för all del ännu i våra dagar barbarer, som bara kan räkna till två eller tre, och till och med det bara på fingrarna. För större tal har de inte alls namn eller beteckningar. Matematikens abstrakta begrepp har man alltså skapat med utgångspunkt från den verkliga världen. Därför är det inte alls förvånande, utan rent av helt naturligt, att de bär prägel av sin härkomst, såsom barn liknar sina föräldrar. Och liksom barnet när det blir stort är till hjälp för sina föräldrar, så blir varje gren av matematiken efter någon utveckling ett nyttigt medel, som är behjälpligt vid förståelsen av den verkliga världen.

HIPPOKRATES: Men, Sokrates, jag skulle ändå vilja förstå bättre hur det kommer sig att sanningar, som relaterar sig till icke verkligt existerande men oföränderliga begrepp, kan vara till nytta för förståelse av verkligheten, som ju oavbrutet ändrar sig. .9

SOKRATES: Frågan är synnerligen berättigad, Hippokrates, och den är förvisso inte enkel, men kanske att en liknelse kan hjälpa oss att komma vidare. Sjöfararna och de som reser känner ju väl till hur man kan orientera sig medelst en karta, i varje fall om det är en bra karta.

SOKRATES: Tycker du inte att det föreligger ett alldeles analogt fall, när man tar sikte på matematiken och verkligheten?

HIPPOKRATES: Du öppnar mina ögon, Sokrates. Fallet är ganska klart. Att syssla med matematik, det betyder helt enkelt att betrakta världen, i vilken vi lever, i våra tankars spegel, och att göra denna spegelbild till föremål för våra undersökningar. Matematiken är alltså en sorts karta över den verkliga världen. Nu har jag begripit allt.

SOKRATES: Du är avundsvärd, Hippokrates; ty för mig återstår fortfarande en viktig fråga som är oklar, men kanske du kan hjälpa mig?

HIPPOKRATES: Det skulle vara mig ett nöje att göra det, om jag kunde, ty jag skulle ju också vilja visa dig min tacksamhet för vad du har gett mig. Men jag fruktar att du driver med mig nu igen. Tydligen har vi ändå inte undersökt frågan ända in i grunden. Så gör mig inte förlägen genom att be mig om hjälp. Säg mig hellre vad som har undgått min uppmärksamhet!

SOKRATES: Min käre Hippokrates, när man behandlar så komplicerade frågor måste man se till att man aldrig förlorar målet ur sikte. Du vill ju veta, om det har mening att rekognoscera matematikens värld, och om så är, vilken mening. Mig förefaller det som om vi ännu inte fullständigt besvarat den frågan.

HIPPOKRATES: Jag trodde att jag redan hade ett helt tillfredsställande svar. När jag förstod att jag i matematikens värld kommer att finna den kunskapens säkerhet, efter vilken jag längtat, återstod endast frågan, om dessa kunskaper också dessutom vore bra för något annat än att blott stilla mitt kunskapsbegär och bereda mig glädje. Vi var nu så långt komna som till att inse att de också dessutom har en annan nytta. Kunskaperna, som man förvärvar om matematikens värld, kan bli till nytta nu eller i alla fall inom en mer eller mindre avlägsen framtid; ty matematikens värld är ingenting annat än återskenet i våra tankars spegel av faktavärlden. När man således urskiljer en sanning i världens spegelbild, så är det till hjälp för att förstå de verkliga tingens värld. Det är för mig fullt tillräckligt.

SOKRATES: Att detta svar ännu inte är fullständigt, säger jag inte för att såra dig, utan emedan jag vet att du förr eller senare själv skulle uppmärksamma det. Du skulle då göra mig förebråelser och säga: Min käre Sokrates, du är så mycket mer erfaren än jag i konsten att ställa frågor och att betrakta tingen ur alla synvinklar, varför har du låtit mig felaktigt tro att jag förstod vad matematik är, under det att vi i verkligheten ännu inte alls har funnit svaret på den viktigaste frågan. Det är skälet till att jag ber dig att ha ännu en smula tålamod och svara mig på ännu ett par frågor.

SOKRATES: Säg mig då: Vad är det för mening med att undersöka en spegelbild, när man även kan betrakta föremålet självt?

HIPPOKRATES: Det hade jag ju verkligen kunnat tänka på själv. Du är i alla fall en häxmästare, Sokrates. Med ett par ord raserar du åter allt vad vi med stor möda byggt upp. På din fråga måste man egentligen svara att det är meningslöst att undersöka spegelbilden om man kan betrakta originalet, men det tycks mig ändå, att ett sanningsenligt svar bara avslöjar svagheten med liknelsen. Då vi talar om matematik måste det i alla fall finnas en utväg ur den fällan.

SOKRATES: Om det finns en, kommer vi snart att finna den med en smula tålamod. Jag är faktiskt av samma mening som du: liknelsen har fört oss in på en villoväg. En liknelse är som en båge; man får inte spänna den för hårt, då brister den.

HIPPOKRATES: Låt oss då lämna liknelsen med spegelbilden. Skulle du inte kunna formulera din fråga även utan att utnyttja en liknelse? Jag för min del känner mig visserligen inte i stånd till det.

SOKRATES: Att ställa frågor är likväl lätt. Det är den enda konst i vilken jag måhända har en viss erfarenhet. Vad säger du således beträffande följande fråga: Vilken mening kan det ha att vid sidan av den verkliga världen skapa allmänna begrepp och sedan befatta sig med dessa begrepp, efter det att man lösgjort dem från deras ursprung, i stället för att undersöka de existerande tingen direkt i deras verklighet? Kan man kanske på denna omväg erfara något om de verkliga tingen, som inte går att få fram på direkt väg? Och om så är fallet, vad beror det på? I vilket avseende är det fördelaktigare att studera allmänna begrepp, som man har utvunnit ur studiet av verkliga objekt, än att undersöka dessa verkliga objekt direkt?

HIPPOKRATES: Den frågan tror jag att jag kan besvara. På det sättet kan man nämligen i ett slag uppnå kunskap, som relaterar sig till en stor mångfald av verkliga ting, vilka liknar varandra i ett eller annat avseende, utan att vara tvungen att undersöka varje ting för sig. När man exempelvis gör ett konstaterande om tal, då gäller detta konstaterande också för alla verkliga ting, som någon vem det vara månde någon gång räknar. Om man finner en egenskap hos cirkeln, är den tillämpbar på varje cirkelformigt objekt. De matematiska begreppen innehåller alltså å ena sidan något som är gemensamt för många objekt, å andra sidan tar de ingen hänsyn till skillnaderna mellan dessa objekt. Detta är många gånger synnerligen fördelaktigt; ty om man i en given fråga lämnar detaljer, som är av sekundärt intresse, utan avseende, så blir saken klarare och enklare. Vi kan kanske återvända till liknelsen med kartan igen. Man kan finna sig tillrätta med dess hjälp just därför att den innehåller bara de viktigaste sakerna; så exempelvis kan man med ett enda ögonkast omsluta avstånd av den storleksordningen att man behöver månader eller år för att färdas över dem. Det är just det som är skälet till att man använder en karta när man vill finna ut bästa marschrutten. Naturligtvis behöver man allt efter syftet olikartade kartor. Om man vill göra en långresa, behöver man en karta på vilken man kan se hela resrutten. Under loppet av resan behöver man sedan detaljerade kartor över de trakter som man just genomreser. På ett eller annat sätt måste det vara likadant med matematiken, när man vill använda den för att nå insikt om den faktiska världen.

SOKRATES: I sanning, min käre Hippokrates, det sade du verkligen vackert. Jag tror inte att jag hade kunnat uttrycka det så klart. Men ytterligare en liknelse kan inte skada. Är det inte så också om någon ser ner på en stad från toppen av ett berg? Han uppnår en helhetssyn, som han aldrig kunde få, om han skulle irra genom labyrinten av trånga gator.

HIPPOKRATES: Du har rätt, Sokrates, jag skulle vilja åberopa ännu en jämförelse: Fältherren, som från krönet av en höjd betraktar den fientliga härens framryckande, har bättre överblick över stridsläget än soldaten i främsta ledet, som bara ser dem han står ansikte mot ansikte med.

SOKRATES: Du överträffar mig ju redan, Hippokrates, men jag vill inte kapitulera. Jag erinrar mig när jag nyligen var hos Aristofon, Aglaofons son, och tittade på några av hans tavlor. Då sade han till mig: Gå inte så nära tavlan, Sokrates! Du ser annars ingenting annat än färgfläckar och inte bilden som helhet.

HIPPOKRATES: I det hade han rätt, men du hade också rätt, när du förut inte ville avbryta vårt samtal förrän vi bringat ljus över frågan, vilken kunskap om den reella världen man kan vänta sig av matematiken, och som man den förutan aldrig kan erhålla. Men det tycks likväl vara på tiden att vi bryter upp. Solen håller på att gå ned och jag tillstår att jag är hungrig och törstig. Men om ditt tålamod inte är alldeles slut, så skulle jag på återvägen vilja fråga dig om ännu en sak.

HIPPOKRATES: Du förstår, Sokrates, vårt samtal har fullkomligt övertygat mig om att jag överhuvud taget ingenting bättre kunde göra än att studera matematik. Du har lärt mig vad matematik är, och jag tackar dig för det av hela mitt hjärta. Det är bara en sak jag fortfarande inte förstår. Du kunde så utmärkt bra övertyga mig om att det vore bra för mig att syssla med matematik, du har lärt mig mycket bättre fatta matematikens väsen än Theaitetos, och denne är inte bara Theodoros bäste lärjunge, utan skulle en dag kunna överträffa sin mästare. Hur kommer det sig då att du inte själv ägnar dig åt matematik? Åtminstone har jag inte hört ett ord om att du gör det. När jag betänker vad allt du har förklarat för mig beträffande matematikens väsen, syns du mig vara bättre skickad än någon annan att gå i spetsen för studiet av denna vetenskap. Vårt samtal har fört mig till det fasta beslutet att studera matematik, men jag skulle samtidigt också vilja säga: Jag är övertygad om att du vore den bäste läromästaren för mig, om du ville göra dig besväret.

SOKRATES: Nej, Hippokrates, det kan jag inte ge mig in på. Det är inte mitt yrke. Theodoros förstår mycket mer än jag därvidlag. Du må söka så mycket du vill, en bättre lärare kan du inte finna. Men eftersom du frågade mig varför jag inte ägnar mig åt matematik, vill jag försöka ge dig ett svar. Jag har aldrig förtigit, inte heller idag tillsammans med dig, hur högt jag skattar matematiken. Jag tror att vi greker inte på något område åstadkommit så mycket som inom matematiken. Men det är bara början, och om vi inte fullständigt tar livet av varandra i meningslösa krig, så kan vi i matematiken uppnå ännu betydligt mer, som "upptäckare", liksom i egenskap av "uppfinnare". Du frågar mig varför jag inte är en av dem som ställer hela sin talang i matematikens tjänst. Men, ser du, om man ser rätt på saken, så är det just det jag gör, bara på litet annat sätt än de andra. En inre röst – du kan gärna för mig kalla den mitt samvete –, som jag alltid lyssnar till, ställde till mig, när jag ännu var ung, följande fråga: Hur kommer egentligen matematikerna fram till sina underbart vackra resultat? Jag svarade den gången: Det beror på att de ställer de högsta fordringar på sitt tänkandes renhet, som någonsin en mänsklig varelse har ställt, att de eftertraktar sanningen, utan att någonsin kompromissa, och att de orubbligt håller sig till den principen, att man kan uppnå äkta resultat bara om man tänker i klara begrepp, som varken innehåller tvetydighet eller inre motsägelse. På det svarade den där rösten: Sokrates, tror du kanhända att den metod, som är till nytta för matematikerna vid studiet av talen och formerna, bara kan tillämpas på det området? Varför försöker du inte övertyga folk så de ställer samma anspråk på sitt sätt att tänka, som matematikerna gör det på sitt område, oavsett vad som är föremål för deras tänkande, således också i vardagslivet och till och med i politiken. Det är vad jag försöker åstadkomma. Jag har försökt visa människorna – ja, du erinrar dig nog att det rörde sig om det också vid vårt samtal med Protagoras – i vilken utsträckning de personer, som tror att de är visa, är ovetande om på vilka osäkra grunder deras överväganden vilar, och det helt enkelt därför att de utgår från begrepp, som, med matematiska mått mätt, är helt och hållet oklara. Jag har därigenom faktiskt alltid bara dragit på mig alla människors vrede. För dem, som är så svaga att de nöjer sig med suddiga begrepp och ett bekvämt sätt att tänka – tyvärr finns det en massa människor av det slaget – är jag den förkroppsligade förebråelsen. Folk kan inte med den man som gång på gång gör dem uppmärksamma på deras fel; fel, som de inte vill eller kan ändra på. En dag kommer de att resa sig mot mig och ta livet av mig. Men till dess kommer jag att fortsätta det jag en gång påbörjat. Men du går till Theodoros!

ARKIMEDES: Ers majestät! Vid en så sen timme! Men det var verkligen en överraskning! Vad föranlåter konung Hieron att hedra mig i min enkla boning med sitt besök?

HIERON: Min käre vän Arkimedes, i kväll gav jag ett gästabud i mitt palats, för att fira vår lilla stad Syracusas seger över det mäktiga Rom. Även du var inbjuden, men din plats förblev tom. Varför kom du inte, du just, som vi har att tacka för dagens seger? Dina väldiga kopparspeglar satte tio av romarnas tjugo stora krigsfartyg i brand; de gled snabbt ut ur hamnen för sydvästlig vind, som brinnande facklor; men innan de nått öppna havet sjönk de samtliga. Jag kunde inte förmå mig till att gå till sängs, utan att än en gång tacka dig för att du har befriat vår stad från fienden.

ARKIMEDES: Det kan tänkas att de kommer tillbaka; vi är fortfarande avspärrade från landsidan.

HIERON: Låt oss tala om det senare. Först skulle jag vilja överlämna en gåva till dig, den finaste jag kan ge dig.

HIERON: Den här skålen är av renaste guld; inte ens om du undersöker den med din berömda metod kommer du att finna en tillstymmelse av silver i den.

ARKIMEDES: Om jag inte tar miste, föreställer relieferna scener från Odysseus irrfärder. I mitten ser man de aningslösa trojanerna, då de drar den väldiga trähästen in i sin borg. Jag har ofta funderat över, om de möjligen begagnade sig av lyftblock till det. Trähästen måste naturligtvis ha haft hjul, men vägen till borgen torde ha varit brant …

HIERON: Dyre vän, glöm nu bara för en minut dina lyftblock! Minns du hur förvånad jag blev, när du alldeles ensam, med ditt tredubbla lyftblock, lät sjösätta det tungt lastade fartyget, som skulle sändas till konung Ptolemaios? Men ta dig nu en titt också på de andra scenerna på skålen.

ARKIMEDES: Jag ser Polyfemos, cykloperna, och Kirke, trollkvinnan, när hon förvandlar Odysseus följeslagare till svin, och här igenkänner jag de sjungande sirenerna, som Odysseus lyssnar hänfört till, bunden vid masten. När man betraktar hans ansiktsuttryck, så tror man sig själv höra den förtrollande sången. Här finner jag Odysseus i underjorden, där han träffar Achilles ande; där åter skrämmer han den förtjusande Nausika och hennes tärnor, och där slutligen är scenen i vilken Odysseus, förklädd till gammal tiggare, möter friarna med spänd båge. – I sanning ett underbart konstverk. Hav tack för din storsinthet, min furste; det är verkligen en konungslig gåva.

HIERON: Det är faktiskt den bästa pjäsen ur min skattkammare, men du förtjänar den. Men jag har inte bara valt ut den här skålen åt dig på grund av dess skönhet och dess värde, utan av ännu ett tredje skäl: Vad du har uträttat för Syracusa kan bara liknas vid Odysseus list. Båda bedrifterna var skarpsinnets triumf över den råa styrkan.

ARKIMEDES: Dina lovord får mig att rodna, min konung. Men får jag lov att återigen säga dig att kriget ännu ej är till ända? Vill du lyssna till en gammal mans råd?

HIERON: Som konung kan jag befalla det, som vän och frände ber jag dig att uppriktigt säga din mening.

ARKIMEDES: Nu borde du sluta fred med romarna. Förhandlingsläget har inte någonsin under hela kriget varit gynnsammare för oss. Om Marcellus inte sänder någon budbärare före midnatt, borde du skicka en till honom före gryningen, så att freden kan beseglas redan innan den nya dagen randas. Marcellus skulle så snart som möjligt vilja dra tillbaka sina trupper, som belägrar Syracusa, emedan han behöver dem mot Hannibal. Om ni enas i morgon, så kan han i Rom samtidigt med den dåliga nyheten om förlusten av sin flotta åtminstone rapportera en diplomatisk seger. Så snart berättelsen om dagens drabbning sprider sig i Rom, kommer romarna att uppfyllas av hämndlystnad, och i sitt raseri kommer de att låta sig blidkas först genom en fullständig seger. På Forum kommer tal att hållas om "att man måste utplåna skammen". En typiskt barbarisk tanke för övrigt, som om man kunde göra något som redan skett ogjort!

HIERON: Du har fullständigt rätt! Om dagens seger kommer man att tala ännu om årtusenden, även om vi förr eller senare skulle tvingas ge vika. För övrigt är din analys av läget till fullo riktig. Marcellus har faktiskt redan sånt mig ett budskap och under vissa villkor erbjudit fred samt tillbakadragande av sina trupper. Om du emellertid visste vilka villkor det är, så skulle du inte råda mig fred lika ivrigt.

HIERON: Först och främst begär han tio nya skepp som ersättning för de idag sänkta; dessutom skall vi rasera alla våra befästningar, med undantag för en enda, i vilken en romersk garnison skall dra in, vidare naturligtvis en massa silver och guld. Sedan skall vi förklara Kartago krig. Och slutligen kräver han min son Gelon, min dotter Helena och dig, min vän, som gisslan! I gengäld lovar han att inget ont skall vederfaras någon i staden, så länge som vi rättar oss efter villkoren.

ARKIMEDES: Man kan sannolikt få honom att pruta på några av kraven. Men mig avstår han inte från.

HIERON: Att du kan tala så lugnt om det! Jag svär vid alla Olympens gudar, att jag, så länge jag lever, aldrig någonsin skall överlämna varken mina barn eller dig till fienden. Guld och silver är mig likgiltigt, det kunde han få, i nödfall också skeppen. Det som mest besvärar beträffande hans villkor, är det faktum att vi vore på nåd och onåd utlämnade åt honom, om vi skulle uppfylla dem; vilka garantier finns det för att han kommer att hålla överenskommelsen?

ARKIMEDES: Akta dig för att inför honom uttala tvivel på den punkten! Romarna är mycket lättstötta, om man snuddar vid deras heder. Kanske låter det sig undvikas att du måste lämna ut dina barn.

HIERON: Och vad händer med dig? Vore du beredd att offra dig för stadens skull?

HIERON: Jag har förklarat att jag accepterar hans villkor, med ett enda undantag: att lämna dig som gisslan. Däremot har jag samtyckt till överlämnandet av mina barn, på villkoret att Marcellus å sin sida lämnar två av sina barn till mig som gisslan. Vad dig beträffar, sa jag att du vid din ålder inte skulle uthärda lägerlivet. Men då jag vet att han egentligen inte vill ha dig som gisslan, utan framför allt vill dra nytta av dina kunskaper, lovade jag honom att du för hans räkning utförligt skall skriva ned alla dina uppfinningar som är av militär betydelse.

HIERON: Men varför det? När vi får fred så behöver vi ändå inte dina uppfinningar. Förklara då för mig varför du inte vill skriva någonting om dem.

ARKIMEDES: Om du har tid att höra på mig vill jag gärna förklara mina skäl för dig.

HIERON: Jag måste ändå vänta på Marcellus svar och vill alltså inte lägga mig; följaktligen kan jag tålmodigt lyssna på dig.

ARKIMEDES: Då har vi gott om tid; för Marcellus kommer att behöva tid på sig för att utforma sitt svar. Men det kommer att smälla som ett piskrapp!

ARKIMEDES: Naturligtvis. Du har kränkt hans heder; det kommer han aldrig att förlåta dig. Och därför kommer ingen överenskommelse till stånd.

ARKIMEDES: Jag har alltid beundrat din insikt i diplomatins konst och din speciella psykologiska förmåga, med hjälp av vilken du gissar din fiendes innersta tankar. Den här gången har du tyvärr inte gjort bruk av denna din begåvning.

HIERON: Jag måste erkänna det. Tydligen har jag handlat överilat, emedan jag var drucken, mindre beroende på vinet än på segern. Men nu är det hänt och vi kan inte ändra på det nu. Trots det skulle jag vilja höra vilka dina skäl är för att inte vilja överlämna dina uppfinningar i skrift.

ARKIMEDES: Det har visserligen nu blivit en rent akademisk fråga; detta till trots skall jag förklara min ståndpunkt för dig. Du liknade mina krigsmaskiner vid den trojanska hästen. Jämförelsen är ganska träffande, men i ett annat avseende än du tror. Odysseus använde sig av trähästen för att smuggla in sig själv och några av sina följeslagare i Tröjas fästning. Jag ville med mina krigsmaskiner också smuggla in något, och det en tanke, i det allmänna grekiska tänkandet, den nämligen att man med framgång kan praktiskt tillämpa matematiken – och det inte bara dess elementa, utan också dess avancerade delar! Jag tillstår att det var först efter lång tids tvekan som jag beslöt mig för det; ty jag avskyr krig och blodsutgjutelse. Nu hade kriget ändå brutit ut, och då var maskinerna det enda medel med vars hjälp jag kunde göra mig hörd. Jag hade ju försökt åtskilliga andra sätt, men utan framgång. Får jag påminna dig om pumpen, som jag uppfann för några år sedan, för att pumpa upp vattnet ur dina gruvor, så att folk när de arbetade inte måste stå upp till midjan i vatten; men du visade inget intresse. Gruvtillsyningsmannen sade mig att han inte brydde sig om ifall slavarna blev våta om benen, de är inte av salt. Erinrar du dig att jag har föreslagit att man skulle konstbevattna dina fält med hjälp av pumpar. Då svarade man mig att det blir billigare med slavarbetskraft. Och när jag föreslog konung Ptolemaios att man skulle driva hans kvarnar med ånga – minns du vad han sade? Kvarnarna som hans far och farfar låtit mala med dög också åt honom. Skall jag ge dig ytterligare exempel? Jag kunde ange minst ett dussin. Mina bemödanden att visa världen hur man kan nyttja matematiken i fredliga syften väckte ingen genklang. Men när kriget bröt ut, då erinrade du dig mina hävstänger, kugghjul och lyftblock. I fredstid betraktade envar mina uppfinningar som leksaker, ovärdiga en vuxen som till och med var filosof. Inte ens du, som alltid understödde mig och hjälpte mig att förverkliga mina idéer, tog mina uppfinningar alltför mycket på allvar. Du demonstrerade mina maskiner, dina gäster till förnöjelse, men det var också allt. Sedan kom kriget och den romerska flottan stängde av hamnen. När jag nu i förbigående fällde den anmärkningen att man kunde driva bort de romerska skeppen, om man kastade stora stenar på dem med hjälp av kastmaskiner, då tog du genast fasta på mitt förslag. Jag kunde inte ta tillbaka vad jag hade sagt och måste förverkliga idén. Resultatet överträffade alla mina förväntningar! Sedan jag gjort detta fanns inte längre någon återvändo. Jag betraktade redan från början den här utvecklingen med blandade känslor. Naturligtvis gladde jag mig åt att mina uppfinningar inte mer blev utskrattade och att jag äntligen fick tillfälle att visa världen vad matematiken förmår uträtta. Men just på detta område ville jag egentligen inte bevisa matematikens användbarhet. Jag såg hur människor dödades av mina maskiner och kände mig skyldig. Plågad av samvetsförebråelser, svor jag inför gudinnan Athena den heliga eden, att aldrig i livet prisge hemligheten med mina krigsmaskiner, varken muntligen eller skriftligen. Jag försökte lugna mitt samvete med följande övervägande: Underrättelsen att Arkimedes med hjälp av matematiken drev bort romarna utanför Syracusa kommer att spridas över hela den grekisktalande världen, och man kommer att minnas det när kriget sedan länge avslutats och hemligheten med mina krigsmaskiner följt mig i graven.

HIERON: Det är faktiskt så, min käre Arkimedes, att ryktet om dina krigsmaskiner redan banat sig väg till fjärran länder. Jag får brev från många konungar, som är mina vänner, där de frågar mig om dina uppfinningar.

HIERON: Jag svarar alltid att dessa uppfinningar är statshemligheter så länge vi befinner oss i krig.

ARKIMEDES: Jag har hitintills kunnat skydda mina hemligheter till och med från dem som förverkligar mina idéer. Varje medarbetare är bara förtrogen med en liten detalj. Jag är glad att du aldrig har ansatt mig med frågor; också dig hade jag nödgats förvägra svaret.

HIERON: Hittills har jag faktiskt aldrig frågat dig, men nu skulle jag vilja veta något. Du behöver inte förskräckas, jag vill inte beröva dig dina hemligheter, utan endast höra något om grundprinciperna som dina uppfinningar bygger på.

ARKIMEDES: Om jag inte därmed måste bryta mitt heliga löfte, vill jag gärna svara dig på dina frågor.

HIERON: Först av allt skulle jag vilja fråga dig någonting helt annat. Varför var du så angelägen om att dina tankar om matematikens nytta skulle bli allmänt bekanta?

ARKIMEDES: Kanske var jag dåraktig, men jag hoppades kunna ändra historiens gång. Jag är orolig för det öde som väntar vår grekiska värld. Jag trodde att om vi skulle använda oss av matematiken i stor utsträckning – den är i grunden en grekisk uppfinning och enligt min mening rent av den grekiska andens viktigaste landvinning –, så kunde vi måhända rädda vår grekiska livsform. Nu förstår jag att tiden redan är ute härvidlag. Romarna kommer att erövra inte bara Syracusa utan därtill alla andra grekiska städer; vår tidsålder är till ända.

HIERON: Jag tror att inte ens då kommer vår grekiska kultur att gå förlorad, därför att romarna kommer att överta den. Se bara hur de söker ta efter oss överallt och i allting; de gör kopior av våra statyer, översätter vår litteratur, och som du ser intresserar sig Marcellus redan för dina tillämpningar av matematiken.

ARKIMEDES: Romarna kommer aldrig att verkligen förstå matematiken; deras strävan är alltför mycket inriktad på det praktiska, för abstrakta teorier har de inte sinne.

HIERON: Men desto mer intresserar de sig för matematikens praktiska tillämpningar.

ARKIMEDES: Man kan inte avskilja den abstrakta matematiken från dess praktiska tillämpningar. Den som inte vill veta av den abstrakta matematiken, avstänger sig från vägen till dess tillämpningar. Den som vill tillämpa matematiken med framgång, måste ha fantasi och kunna drömma.

HIERON: Det du säger är paradoxalt. Hittills har jag trott att det för tillämpningen av matematiken i första hand erfordras ett praktiskt inriktat sinne.

ARKIMEDES: Naturligtvis behövs det med för det praktiska utförandet av idéerna. Men bristen på idéer låter sig lika litet uppvägas genom en praktisk håg, som man utan kött kan koka köttsoppa.

Hieron: Nu kommer jag till min egentliga fråga: Vari består hemligheten med dina framgångar, vad är hemligheten med denna nya vetenskap, som du har uppfunnit – låt oss kalla den tillämpad matematik –, vari skiljer den sig från den matematik – låt oss kalla den för den rena matematiken –, som undervisas i skolorna?

ARKIMEDES: Jag är ledsen, min konung, att jag måste göra dig besviken med mitt svar; båda är egentligen en och samma. Det finns inte två slags matematik; bara den matematiken existerar, med vilken även du är bekant och i vilken du i din ungdom undervisades – efter vad jag vet, ingalunda utan framgång. Den vetenskapen kan likafullt tillämpas. Tillämpad matematik i den mening du tänker dig, som en från den egentliga matematiken skild självständig vetenskap, existerar inte. Min "hemlighet" förblir bevarad, just därför att den inte skyddas speciellt; den är dold som ett guldmynt i vägdammet. Var och en som böjer sig ned efter det kan ta upp det; men den som söker det i hemliga gömslen finner det aldrig.

HIERON: Du vill således göra gällande att dina underbara krigsmaskiner är baserade på den vardagliga matematik, varmed varje bildad människa är bekant?

ARKIMEDES: Låt oss då ta spegeln som idag har gjort oss så goda tjänster. För min del har jag ingenting annat gjort än utnyttjat en välkänd egenskap hos parabeln, nämligen följande: Om man förbinder en godtycklig punkt P på parabeln med parabelns brännpunkt F samt genom P drar en linje parallell med parabelns axel, så bildar de sålunda uppkomna båda räta linjerna samma vinkel mot parabelns tangent i punkten P, eller annorlunda uttryckt, en parabolisk spegel reflekterar de parallellt infallande solstrålarna så att samtliga går genom samma punkt – brännpunkten. Följaktligen antänds ett föremål som befinner sig i denna punkt av värmen från solstrålarna. Själva satsen finner du i mina framstående kollegers, från Alexandria, böcker.

HIERON: Man har svårt att tro ätt du med hjälp av denna så oskyldigt klingande geometriska sats, till vilken man hittar hundratals likalydande teorem i alla geometriböcker, har förintat hälften av Marcellus stolta flotta. För övrigt har jag ett dunkelt minne av den satsen; beviset har jag naturligtvis glömt för länge sedan.

ARKIMEDES: Förmodligen förstod du då, när du blev bekant med den, också beviset för den, kanske du rent av beundrade dess skönhet och elegans, men lät dig nöja med det. Många matematiker trängde djupare, forskade vidare, drog några rent geometriska slutsatser ur den satsen eller uppfann nya bevis för den, men var tillfreds i och med det. Jag gick nu ett avgörande steg längre, jag funderade dessutom över vartill man kunde nyttja den utanför matematiken.

ARKIMEDES: Optiken är i grunden ingenting annat än ett kapitel av geometrin, eller bättre uttryckt, en tillämpning av geometrin för utforskandet av ljusstrålarna. Förresten använde jag från optiken bara reflexionssatsen, som redan sedan länge är känd.

HIERON: Du menar således att det för den praktiska tillämpningen av matematiken inte behövs några nya matematiska resultat, man behöver enbart uppbåda den till en given praktisk situation passande pendangen inom matematiken, som består av någon välkänd sats.

ARKIMEDES: Nej, min konung, riktigt så enkel är inte saken. Det förekommer ofta att den sats man behöver ännu inte alls är känd, så att man själv är tvungen att upptäcka den och bevisa den. Men även då så inte är fallet, är det ofta på intet sätt lätt att till en praktisk situation finna den matematiska pendangen – du kallade den så, jag skulle hellre tala om en matematisk modell; det är likväl här fråga om någonting helt annat än att söka efter maken till en högerhandske. Till att börja med är för en och samma praktiska situation mestadels flera matematiska modeller möjliga, av vilka man måste välja den som passar bäst. Den skall vara så väl anpassad efter den praktiska situationen som det är möjligt (fullständigt adekvat kan den aldrig vara), men samtidigt inte alltför komplicerad, så att den ändå är åtkomlig för matematisk behandling. Exakt överensstämmande och enkelhet är självfallet varandra motsägande krav; att avväga dem mot varandra och bringa dem till överensstämmelse, är i allmänhet inte alls någon enkel sak. Man måste i möjligaste mån närma sig verkligheten i alla de avseenden som är viktiga för det utstakade målet, men samtidigt bortse från allt som är oväsentligt för det avsedda syftet. En matematisk modell behöver inte likna verkligheten i alla avseenden; det är förresten inte ens möjligt. Det är tillräckligt om modellen kommer nära verkligheten i varje avseende som är av betydelse för den ifrågavarande uppgiften. Å andra sidan, och det följer därav, kan samma matematiska modell vara användbar för inventering av helt olikartade verkliga situationer. Så till exempel utnyttjade jag egenskaper hos parabeln även vid konstruktionen av kastmaskinerna; den bana som en kastad sten beskriver är nämligen approximativt en parabel. Men också då jag beräknade hur djupt ett skepp sjunker ned under tyngden av sin last, utnyttjade jag egenskaper hos parabeln. Naturligtvis har ett skepps tvärsnittsyta inte exakt formen hos en parabel, men en modell som mer liknade skeppsformen hade redan varit alltför komplicerad från matematisk synpunkt och därför oanvändbar. Resultaten stämde trots detta riktigt bra överens med fakta. Speciellt kunde jag därigenom komma underfund med hur man skall konstruera ett skepp så att det alltid rätar upp sig igen, när det ansätts av vind och vågor. Det kommer nämligen an på att skeppets tyngdpunkt alltid ligger så djupt som möjligt. I många fall kan vid utforskandet av en komplicerad praktisk situation till och med en grov matematisk modell vara till stor nytta, när den ger ett åtminstone kvalitativt riktigt resultat; det är understundom långt mer betydelsefullt än kvantitativa rön. Erfarenheten lärde mig att sökandet efter en passande matematisk modell, om det så bara är en mycket grov, ofta leder till en djupare förståelse för den situation som är under utforskande, emedan vi därvid är tvungna att tänka igenom alla möjligheter logiskt från början till slut, att definiera de använda begreppen klart och otvetydigt, att ta hänsyn till alla faktorer som kan tänkas spela någon roll, och komma underfund med vilka av dem som är de avgörande. Om den matematiska modell som vi valt leder till resultat som inte står i samklang med fakta, så betyder det att vi vid dess uppsättande har försummat någon viktig omständighet. Då måste modellen modifieras genom att man beaktar de hitintills försummade väsentliga omständigheterna. Följaktligen kan även en modell som inte passar vara nyttig, emedan den kan bidra till en djupare förståelse för den ifrågavarande situationen.

HIERON: Mitt intryck är att tillämpningen av matematiken i detta liknar krigföringen, där många gånger ett nederlag är värdefullare än en seger, emedan det får oss att inse hur vi måste ändra vår strategi eller vår utrustning.

ARKIMEDES: Grundtanken har jag redan delgett dig. Efter det att jag kommit på att man kunde begagna sig av de nämnda egenskaperna hos parabeln, återstod naturligtvis en rad praktiska problem att lösa. Framför allt hur man kan slipa en konkav metallspegel till formen hos en rotationsparaboloid; men om detta vill jag ingenting säga. Naturligtvis måste också det passande materialet hittas; men tillåt mig förbigå det med tystnad.

HIERON: Ja, det är gott och väl, jag vill inte med list beröva dig dina hemligheter. Men av det du sagt framgår att det förutom de nämnda egenskaperna hos parabeln också behövdes en grundlig kännedom om metaller och deras bearbetning. Men det tycks mig bevisa att det inte förslår med enbart vetskap om matematik när man skall tillämpa den. Är inte den, som vill tillämpa matematiken, i ett liknande läge som den som samtidigt vill rida på två hästar?

ARKIMEDES: Jag skulle bara vilja ändra en liten smula på din jämförelse. Den som vill tillämpa matematiken befinner sig i en liknande situation som den som vill spänna två hästar för sin vagn. Det är egentligen inte alls så svårt, men givetvis måste man begripa sig något på hästar och vagnar. Men var och en av dina kuskar vet hur man bär sig åt.

HIERON: Nu vet jag överhuvud taget inte längre vad jag skall gå efter. Närhelst den tillämpade matematiken förefaller mig gåtfull, bevisar du för mig att den egentligen är en ganska enkel sak; men knappt har jag börjat tro att allt faktiskt ligger helt i öppen dag, förrän du förklarar att det är mycket mer komplicerat än jag tänkte.

ARKIMEDES: I princip är också allt mycket enkelt, fastän i detalj ibland rätt invecklat.

HIERON: För mig är det ännu inte så alldeles klart vad du egentligen menar med en matematisk modell.

ARKIMEDES: Kan du erinra dig anordningen, som jag förfärdigade för några år sedan för att efterbilda rörelsen hos solen, månen och de fem planeterna? Med den kunde man förklara hur sol- och månförmörkelser kommer till stånd.

HIERON: Om jag erinrar mig! Den står ännu idag i mitt palats; jag visar den för alla mina gäster. De betraktar den med häpnad. Är det en matematisk modell av universum?

ARKIMEDES: Nej, jag skulle snarare kalla den en fysikalisk modell. Matematiska modeller kan man inte se, de existerar endast i våra tankar och låter sig uttryckas med formler. En matematisk modell av världsalltet är just det som är gemensamt för det verkliga världsalltet och min fysikaliska modell. I den fysikaliska modellen motsvaras varje planet av en kula, och den minsta kulan är åtminstone av ett äpples storlek. I den matematiska modellen motsvaras planeterna av punkter, som inte har någon utsträckning.

HIERON: Jag börjar begripa vad du menar med en matematisk modell. Låt oss emellertid återvända till jämförelsen med hästarna. Det är ändå en helt annan sak att spänna för och köra hästar, än att föda upp dem. Förhåller det sig inte på liknande sätt med matematiken? Är det inte något helt annat att tillämpa matematik, än att själv vidareutveckla matematiken, att upptäcka nya satser och därefter bevisa dem?

ARKIMEDES: Vad beträffar hästarna så har du i det stora hela rätt, även om den som har fött upp en häst säkert känner den bättre och därför också kan köra eller rida den bättre än andra människor. Med matematiken förhåller det sig, som jag redan sagt, på följande sätt: Den som vill tillämpa den framgångsrikt måste känna den mycket grundligt och ingående. Men den som rent av vid tillämpningen av matematiken inte bara vill upprepa vad andra redan före honom på något sätt har gjort under liknande omständigheter, utan försöker gå sina egna vägar och pröva på att öppna nya tillämpningsmöjligheter, han måste själv vara en skapande matematiker. Omvänt kan sysslandet med tillämpningarna också vara till stor nytta för den rena matematiken.

ARKIMEDES: Kanske kan du erinra dig att jag för en tid sedan intresserade mig mycket för ett mekaniskt problem, för bestämningen av kroppars tyngdpunkt. Resultaten, som jag därvid kom fram till med mekanikens hjälp, hjälpte mig inte bara vid förverkligandet av det ursprungliga målet – jag sökte den gången den gynnsammast möjliga formen för ett skepp –, utan de ledde mig också till nya geometriska satser. Jag har utvecklat en märkvärdig metod, som består i att jag utforskar geometriska problem med hjälp av överväganden frän mekaniken, som gäller tyngdpunkten. Mänga satser har jag funnit med denna metod. Den har visserligen endast heuristisk karaktär och ger inga stränga bevis. Senare har jag dessutom bevisat dessa satser med den rena geometrins vedertagna metoder. Det är mycket lättare att finna ett exakt bevis för en sats om man redan förut med hjälp av mekaniska analogier har skaffat sig en viss orientering rörande problemet och på så sätt vet någorlunda vad man har att bevisa, än om man måste gå till verket utan denna vetskap.

HIERON: Nämn åtminstone någon sats som du har upptäckt på det sällsamma sättet.

ARKIMEDES: Arean av ett godtyckligt parabelsegment överstiger med en tredjedel arean av den triangel, som har samma baslinje och höjd. Till denna sats kom jag genom metoder från mekaniken, och längre fram så bevisade jag den med de sedvanliga stränga geometriska metoderna.

HIERON: När du hade kommit på en sats genom mekaniska analogier, varför måste du därefter dessutom bevisa den med de traditionella metoderna?

ARKIMEDES: Efter det att jag utvecklat min metod, lade jag märke till att det bland de första resultaten även fanns några falska. Därigenom att jag analyserade dessa fall där min metod vilseledde mig, kunde jag komplettera den så att jag nu alltid kommer till riktiga resultat. Men hittills kan jag inte bevisa att varje resultat, som jag på detta sätt uppnår, också verkligen är riktigt; det är möjligt att jag eller någon annan lyckas finna detta bevis någon gång, men så länge det inte är fallet kan jag inte förlita mig på min metod, utan måste kontrollera varje resultat genom att bevisa det med de sedvanliga, obestridligt riktiga metoderna.

HIERON: Det förstår jag fullkomligt. Emellertid är det totalt oklart för mig till vad de stränga bevisen överhuvud taget är behövliga vid tillämpningarna. När allt kommer omkring sade du förut att en matematisk modell bara är en grov approximation till verkligheten. Om man alltså begagnar sig av en i det stora hela riktig formel, så kommer också resultatet att i det stora hela överensstämma med verkligheten. Och helt exakt kan det ju så gott som aldrig överensstämma med den, som du förut själv framhöll.

ARKIMEDES: Du misstar dig, min konung. Just därför att en matematisk modell bara approximerar verkligheten och aldrig exakt återger fakta, måste vi se till att avvikelsen mellan modell och verklighet inte förstoras extra genom vårdslöst hanterande av matematiken; vid tillämpningarna av matematiken måste man låta samma stränghet i bevisföringen råda som vid rent matematiska undersökningar. För övrigt är den vittutbredda uppfattningen helt felaktig, att bruket av närmevärden vid approximationer innebär en avvikelse från den matematiska strängheten. Även för approximationer finns det en exakt teori, och påståenden som rör approximationer, exempelvis olikheter, måste bevisas lika strikt som någonsin påståenden om likheter. Kanske kan du erinra dig de approximationer som jag för några år sedan angav beträffande cirklars area; bevisen för dem skiljer sig inte på något sätt vad avser stränghet från bevisen för Euklides satser.

ARKIMEDES: Den här metoden ledde mig till följande insikt: Cylindern, som upptar lika stor basyta som storcirkeln hos en sfär, och vars höjd är lika stor som sfärens diameter, är såväl vad beträffar volymen som ytan 1 1/2 gång så stor som sfären.

HIERON: Jag hörde att det är din önskan att denna sats ristas in på din gravsten. Det betyder måhända att du betraktar just den som din mest betydande upptäckt?

ARKIMEDES: Detta resultat värderar jag verkligen mycket högt; likväl tror jag att härvidlag metoden som jag har utvecklat – med vilken jag även kom fram till det här resultatet – är viktigare än alla konkreta resultat som jag kommit fram till med dess hjälp. Som jag redan sagt är jag emellertid ännu inte helt nöjd med denna metod, då jag hittills inte har lyckats visa att den alltid leder till riktiga resultat. Kommer du ihåg, att jag en gång – när vi talade om hävstänger – sade till dig: Ge mig en fast punkt att sätta an mot och jag skall bringa jorden ur jämvikt. Naturligtvis existerar ingen sådan punkt på jorden. Men när man sysslar med matematik så finns det en sådan fast punkt, på vilken man kan stödja sig: Axiomen och logiken bildar den. Därför menar jag att exakta bevis och sträng logik är oumbärliga även vid tillämpningarna av matematiken. Att tillämpa matematik innebär: att stödd på matematikens fasta punkt sätta jorden i rörelse!

HIERON: Du talar hela tiden om matematikens tillämpningar, ändå hänför sig samtliga de exempel du nämnt till geometrins tillämpningar. Vad beträffar tillämpningarna av geometrin, så tror jag mig redan förstå hur det är möjligt. En maskins arbetssätt är uppenbarligen beroende av delarnas form och storlek; banan som beskrivs av en sten, som du slungar iväg med hjälp av din kastmaskin, är en kurva – som du sade, i det närmaste en parabel; av dessa exempel inser jag hur man kan etablera en relation mellan geometri och verklighet. Men hur är det med de andra grenarna av matematiken, till exempel med talteorin? Jag har svårt att föreställa mig att den likaledes kunde ha praktisk betydelse. Missförstå mig inte, jag talar inte om aritmetikens elementa, som man uppenbarligen använder sig av vid varje slag av beräkning; jag tänker på sådana saker som delbarhet, primtal, minsta gemensamma nämnaren och liknande.

ARKIMEDES: Om vi exempelvis använder kugghjul med olika antal kuggar som griper in i varandra, och vi låter dem börja rotera, så uppstår problemet, när systemet för första gången återvänder till utgångsläget; svaret kan man överhuvud taget inte formulera utan begreppet minsta gemensamma nämnaren. Är du nöjd med detta enkla exempel, eller skall jag räkna upp ännu fler?

ARKIMEDES: Det är en annan sak som jag likväl dessutom skulle vilja berätta för dig. För kort tid sedan fick jag ett brev från min gode vän Eratostenes från Kyrene, i vilket han meddelar mig en enkel, men utomordentligt snillrik metod, som han har uppfunnit för att finna reda på – eller som han säger, "sålla ut" – primtalen. När jag funderade över denna metod kom jag på idén till en maskin som förverkligar Eratostenes' "såll". Denna maskin skulle innehålla ett system av olika stora kugghjul på en axel; vrider man axeln runt n gånger med hjälp av en vev, varvid n är ett inte alltför stort tal, och är n ett primtal, så kan man se tvärs igenom ett särskilt hål; men om n är ett sammansatt tal, så täcks hålet av en kugge på ett av kugghjulen. På så sätt kommer man med hjälp av den här maskinen att kunna avgöra huruvida ett tal är primtal eller inte.

HIERON: Det är synnerligen häpnadsväckande. När kriget är till ända måste du bygga den här maskinen åt mig. Mina gäster kommer att bli hänförda.

ARKIMEDES: Om jag fortfarande lever då skall jag bygga den maskinen åt dig. Det kommer att bli intressant framför allt därför att det visar att maskiner är i stånd att lösa matematiska problem. Kanske kommer matematikerna att därigenom bli övertygade om att det är till nytta även för deras egna forskningar, om de sysselsätter sig med frågan om förhållandet mellan matematik och maskiner.

HIERON: När du ändå talar om nytta, kommer jag på en anekdot om Euklides, som sannolikt även du känner till.
Han blev tillfrågad av en lärjunge som han undervisade i geometri: "Vilken nytta kommer jag att ha av att jag lär mig de här sakerna?" Därpå ropade Euklides på sin slav och befallde honom: "Ge denne man en slant eftersom han vill dra nytta av det han lär." Denna berättelse tycks likväl visa att Euklides var av den åsikten att det är ovärdigt en matematiker att bry sin hjärna med frågan om vilken praktisk nytta han har att förvänta av sin vetenskap.

ARKIMEDES: Också jag känner naturligtvis till anekdoten, och förmodligen blir du överraskad när jag säger att jag delar Euklides ståndpunkt. I den ifrågavarande situationen hade jag sagt något liknande.

HIERON: Nu gör du mig åter förvirrad. Hittills har du talat med sådan hänförelse om matematikens praktiska tillämpningar, och nu plötsligt förklarar du dig ense med de purister, som betraktar kunskapsglädjen som den enda nytta en vetenskapsman har att eftersträva, om han sysslar med matematik.

ARKIMEDES: Jag tror att du har uppfattat anekdoten om Euklides lika galet som folk i allmänhet. Den innebär nämligen inte att han inte skulle ha intresserat sig för matematikens praktiska tillämpningar och ansett sysslandet med det som ovärdigt en vetenskapsman; det är rätt och slätt struntprat! Euklides skrev, som du säkert vet, själv en bok om astronomi, som han kallade "Phaenomena", liksom även en bok om optik, och förmodligen är han också författare till verket "Katoptrika", som jag hade nytta av vid konstruktionen av min spegel. Han sysslade också mycket med mekanik. Jag uppfattar den här anekdoten på så sätt att Euklides ville framhålla det anmärkningsvärda faktum, att matematiken ger verklig vinning endast till den som inte bara studerar den för vinnings skull, utan för dess egen skull. Det är med matematiken som med din dotter Helena, som varje gång en friare dyker upp grips av misstanken, att det inte är kärleken till henne som får friaren att anhålla om hennes hand, utan önskan att bli konungens svärson. Dock skulle hon vilja ha en make som älskar henne för hennes egen, för hennes skönhets, för hennes behags och blixtrande snilles skull och inte för rikedomens och maktens skull, som kommer den till del, vilken gifter sig med konungadottern. På liknande sätt erbjuder matematiken endast den inblick i sina hemligheter, som hänförd av dess skönhet, nalkas den driven av ren kunskapstörst. Men den som inför varje litet steg ställer sig frågan: vilken nytta har jag av att arbeta mig igenom här? – han kommer inte långt inom matematiken. Förut sade jag till dig att romarna skulle inte komma långt inom matematiken och dess tillämpningar; nu skall det också vara klart för dig varför: De griper sig saken an ur en mycket för snäv synvinkel.

HIERON: Enligt min mening borde vi lära ett och annat av romarna; sedan kunde vi kämpa mot dem med bättre framgång!

ARKIMEDES: Det kan jag inte hålla med om. Om vi skulle försöka vinna kampen genom att på förhand uppge de idéer vi står för och efterhärma våra fiender, då vore vi förlorade redan innan det kom till strid. Även om vi kunde segra på detta sätt, vore intet vunnet; en sådan seger är värre än ett nederlag.

HIERON: Låt oss lämna kriget och återvända till matematiken! Hur konstruerar du egentligen dina matematiska modeller?

ARKIMEDES: Den frågan kan man endast svårligen besvara i så allmän form. Måhända kan en jämförelse vara till hjälp: den matematiska modellen för en praktisk situation är någonting liknande dess skugga på förnuftets skärm.

HIERON: Det tycks mig som din filosofi vore raka motsatsen till Platons. Enligt denna är de verkliga objekten idéernas skuggor, medan du, om jag förstår dig rätt, är av den åsikten, att tankarna är de verkliga objektens skuggor.

ARKIMEDES: Dessa båda uppfattningar är inte så vitt åtskilda som det kan se ut vid första ögonkastet. Platon brydde sin hjärna med sambandet mellan de matematiska begreppen och verkligheten; han såg som den viktigaste uppgiften för filosofin att förklara denna märkvärdiga överensstämmelse. Så långt är jag till fullo överens med honom. Visserligen kan jag inte instämma i det svar han gav på denna fråga, likväl måste jag erkänna att han var den förste som formulerade detta viktiga problem och utarbetade en av de logiskt möjliga lösningarna. Men jag tror att vi nu får lov att från filosofin återvända till den levande verkligheten; jag hör nämligen någon bulta på porten – jag går och öppnar.

HIERON: Låt mig göra det. Jag tror att min budbärare kommer tillbaka med svaret från Marcellus … Mycket riktigt, här är det.

ARKIMEDES: … Marcellus framför sin hälsning till konung Hieron samt låter honom få veta att han skall erövra Syracusa redan före nästa nymåne. Det kommer att övertyga konung Hieron om att en romare står vid sitt ord.

ARKIMEDES: Hans grekiska är inte alls illa. Och vad beträffar innehållet, så motsvarar det mina förväntningar.

HIERON: Faktiskt har din förmodan så till den grad besannats, som hade du kommit fram till den med hjälp av din metod.

HIERON: Nu går jag; jag måste sova ut. I morgon måste vi väpna oss mot ett nytt angrepp. Jag tackar dig för detta intressanta samtal.

ARKIMEDES: Under den senaste tiden har jag sällan fått tillfälle att tala om matematik; det har glatt mig att du har gett mig det. Och mycken tack än en gång för den praktfulla skålen!

HIERON: Det gläder mig att du tycker om den. God natt, min vän, jag tror att en smula sömn kommer att göra även dig gott.

ARKIMEDES: God natt, min konung! Jag kan ännu inte gå och lägga mig, enär jag måste avsluta ett brev, i vilket jag ämnar berätta för min vän Dositeus från Pelusium om mina nya resultat. Nu när den romerska flottan har dragit bort, kommer sannolikt i morgon skepp att löpa ut ur hamnen, under det att romarna antagligen i övermorgon åter stänger av hamnen för oss. Jag skall begagna mig av detta tillfälle – det kan bli det sista …

TORRICELLI: Signora, låt mig få presentera mig. Jag är Evangelista Torricelli, lärjunge till pater Castelli och därmed – som matematiker – egentligen sonson till Galilei.

FRU NICCOLTNI: Det är alltså ni som har skrivit det entusiastiska brevet, där ni kallar er kopernikan och galilean?

TORRICELLI: Många unga människor tänker som jag. Abbot Castelli berättade för mig om det nya arbete, som mästaren har påbörjat; jag skulle vilja tala med honom om det.

FRU NICCOLTNI: Vet ni då inte att Galilei hålls i fängsligt förvar av kyrkans heliga officium? Endast efter storhertigens av Florens uttryckliga anhållan har vi fått tillåtelse att han – som särskild ynnest – kan bo under husarrest i min mans, storhertigens sändebud, hus. Emellertid måste min man ge sitt hedersord på att vi inte släpper in någon besökare till signor Galilei.

FRU NICCOLTNI: Nå, vi säger väl så, för den här gången. Men bara just därför att jag hoppas att det skall göra den gamle herrn gott, om han kan diskutera med någon som förstår hans tankar. Eftersom han inte har någon annan åhörare, talar han rent av med mig om sina arbeten, som han just sysselsätter sig med, men jag kan inte följa hans tankar. Idag råkar han vara på gott humör, eftersom han sov gott förtiden natt, för första gången på veckor. Så stig på; om någon skulle se er, säger jag att ni är en släkting till mig, som har kommit för att besöka mig.

FRU NICCOLTNI: Var så god, den här vägen. Signor Galilei, jag har med mig en gäst till er, vars besök kommer att glädja er: Evangelista Torricelli.

GALILEI: Vilken glädje! Det är verkligen vänligt av er att våga besöka en gammal man, som är misstänkt för kätteri.

TORRICELLI: För mig och mina vänner är er dialog om de båda världssystemen vår bibel. Jag hörde av abbot Castelli, att ni arbetar med ett nytt verk och att detta verk kommer att överträffa allt som hittills skrivits rörande mekaniken. Jag har kommit till er för att få höra något närmare om det.

GALILEI: Jag har redan sedan lång tid tillbaka varit sysselsatt med att planera denna avhandling. För några månader sedan fick jag äntligen möjlighet att påbörja den, men måste avbryta arbetet, emedan jag blev instämd inför inkvisitionsdomstolen i Rom. Sedan jag kom hit har jag ännu inte fått tillfälle att skriva en enda rad. Det är min högsta önskan att kunna avsluta denna skrift, i vilken jag vill sammanfatta allt vad jag vet om rörelsen. Den kommer att vida överträffa mina hittillsvarande arbeten. Men jag fruktar att jag inte kan fullborda verket. Även om jag skulle vinna den här striden, som man har tvingat mig in i, så vore det bara en pyrrhusseger, om sedan inte mina krafter längre tillåter mig att slutföra det påbörjade arbetet.

GALILEI: De grekiska matematikerna uppnådde underbara resultat inom matematiken, och några av dem – som till exempel Arkimedes – tillämpade dessa resultat framgångsrikt på olika praktiska problem. Men inför en matematisk beskrivning av rörelsen ryggade de tillbaka, och ingen har heller sedan dess skrivit om detta. I mitt planerade arbete – i händelse att jag blir färdig med det – är det viktigaste den matematiska beskrivningen av rörelsen.

TORRICELLI: Det är egentligen obegripligt att grekerna inte alls försökte sig på den saken. Vilket kunde skälet vara för det?

GALILEI: De grekiska filosoferna diskuterade rörelsen mycket, vi kan till exempel tänka på Zenons paradoxer om Akilles och sköldpaddan, och den om pilen, varmed han ville bevisa att rörelsen är en omöjlighet. Zenon visste naturligtvis likaväl som Herakleitos att i naturen städse allting befinner sig i rörelse. I själva verket ville han ge uttryck åt, att rörelsens begrepp är logiskt motsägelsefullt, och att därför rörelsen inte kunde behandlas med matematiska metoder. Aristoteles ville vederlägga Zenons paradoxer, men hans vederläggning var synnerligen svag; han bevisade endast vad varje barn ändå vet, nämligen, att det finns rörelse. En verklig vederläggning av Zenons paradoxer vore det, om någon kunde bevisa att rörelsen är möjlig att beskriva matematiskt. Det försökte Aristoteles inte alls. Om jag kan fullborda mitt arbete, så blir det den första riktiga vederläggningen av Zenons paradoxer. Aristoteles sade egentligen detsamma som Zenon, bara med en annan motivering, då han påstod att rörelsens beskrivning inte kunde vara en uppgift för matematiken. Enligt hans åsikt sysslar naturvetenskapen med i sig existerande, men föränderliga ting, matematiken däremot med icke i sig existerande, men oföränderliga ting. Och därvid kunde de icke i sig existerande men föränderliga tingen – däribland exempelvis rörelsen – inte vara objekt för vetenskapen. Detta Aristoteles veto har under nära två tusen års tid avhållit matematikerna och filosoferna från den matematiska beskrivningen av rörelsen. Aristoteles falska lära var skadlig också just genom att den upprättade en konstlad skiljevägg mellan matematiken och naturvetenskapen, som endast ett litet fåtal vågade sig på att rasera.

TORRICELLI: Jag kan knappt ge mig till tåls tills jag får lära känna ert nya arbete. Det är verkligen skandal, att man med så löjeväckande anklagelser hindrar er från att arbeta på detta stora verk, som förvisso kommer att inleda en ny tidsålder inom vetenskapen. Men låt mig få ställa en fråga: Varför for ni egentligen till Rom, i stället för att någonstans i ostördhet fullborda er bok?

GALILEI: Vad hade jag kunnat göra, eftersom jag blev instämd inför inkvisitionsdomstolen?

TORRICELLI: Ni skulle ha kunnat fly, vart som helst, där inte inkvisitionens arm kan nå er.

GALILEI: När jag kom till Rom, hoppades jag fortfarande kunna övertyga kyrkan om att frågan, huruvida Jorden rör sig, inte är någon trosangelägenhet, utan en fråga om fakta, och att kyrkan måste överlåta avgörandet i denna fråga till vetenskapen. Jag hade den känslan, att det var min plikt, inte bara gentemot vetenskapen, utan även gentemot kyrkan, att eftertryckligt förklara: Om kyrkan tar ställning för Ptolemaios system, så hamnar hon i en liknande situation som en som äntrar ett sjunkande skepp. I min "Dialog" försökte jag motivera denna åsikt, och jag trodde, att om jag fick tillfälle att personligen lägga fram mina argument, så skulle jag kunna uppnå att kyrkan ändrade mening om Kopernikus lära. Jag var fullständigt säker på att det skulle lyckas mig att övertyga påven; ty på den tiden, då han fortfarande hette kardinal Maffeo Barberini, betygade han mig vid upprepade tillfällen sin högaktning och sin erkänsla. Kanske har ni hört talas om att han rent av tillägnade mig en dikt. Jag kände honom som en vetenskapens vän. Han inledde sin verksamhet som påve med att befria den olycklige Campanella ur fängelset. Jag hoppades att genom ett personligt samtal kunna övertyga honom om att det också ligger i kyrkans intresse, om hon ger forskningen fria händer vad rör problemet med rörelsen. Men denna min förväntan blev en djup missräkning, påven ville inte lyssna till mig. Mina fiender har inbillat honom, att jag i min dialog egentligen ville göra honom till ett åtlöje i den fånige Simplicios person: fördenskull slog nu den gamla vänskapen om i hat och hämndlystnad. Ni har måhända rätt, jag skulle inte ha begett mig till Rom, men nu är det redan för sent att göra sig förebråelser för den saken.

TORRICELLI: Jag tror att det fortfarande inte är för sent. Kan jag tala öppet här?

GALILEI: Inför signora Niccolini har jag inga hemligheter, hon är min uppriktiga vän. Det var hon, som med sin farbror, pater Riccardi, genomdrev att dialogen kunde publiceras. Nu, när jag bor här, behandlar hon mig som en mor sitt eget barn; hon ger mig skydd för väder och vind samt bryr sin hjärna med hur hon skall kunna trösta mig, hur hon skall kunna ge mig kraft att lättare fördra den förnedring som jag gamle man får utstå. Inför henne kan ni lugnt tala.

TORRICELLI: Eftersom signora Niccolini släppte in mig till er, förstår jag att jag kan ha förtroende för henne; men nuförtiden har även väggarna öron.

GALILEI: Det kan ni verkligen lita på, min vän! Signora Niccolini har i dessa dagar avskedat en av sina tjänare, eftersom hon märkte att han spionerade för inkvisitionen; visserligen har hon inte sagt ett ord till mig om saken, för att inte göra mig orolig. Stämmer det, Katharina?

FRU NICCOLTNI: Det vill jag inte förneka, när ni redan har gissat er till det. Mina andra tjänare är likväl pålitliga, de är samtliga från Florens och har valts ut speciellt. Följaktligen kan ni tala utan risk; vad som här sägs stannar oss emellan.

TORRICELLI: Jag och mina vänner, vi som kallar oss galileaner, har gjort alla förberedelser för mästarens flykt. Vi skulle först föra er till Venedig. Därborta vore ni för en tid i säkerhet för inkvisitionen, eftersom republiken under inga omständigheter skulle utlämna er. Men om ni ansåg det säkrare, kunde ni resa därifrån med ett skepp till Nederländerna, där ni kunde arbeta ostört och låta trycka ert nya verk. Vi har noga tänkt på varje detalj. Ni behöver bara ge ert samtycke och komma överens med mig om tidpunkten.

GALILEI: Mitt värdfolk har gått i borgen för mig, jag skulle försätta dem i en otrevlig situation genom min flykt. Bara av det skälet kan jag, bortsett från allt annat, inte fly.

TORRICELLI: I vår plan har vi också tagit hänsyn till den omständigheten. Vid nästa tillfälle, när man för er till förhör inför kyrkans heliga officium, rövar vi bort er på öppen gata under vägen dit. För det kan ingen klandra signor Niccolini. Vi förfogar över några pålitliga män, som lätt kan övermanna dem som bevakar er.

GALILEI: Jag finner inte uttryck för hur mycket det gläder mig att ni och era unga vänner vill befria mig. Planen är visserligen synnerligen god, men den är outförbar, eftersom jag inte skulle klara strapatserna i samband med resan. Kanske har ni hört att jag nyligen har gått igenom en svår sjukdom; jag känner mig fortfarande inte riktigt bra.

TORRICELLI: Vi har tänkt på det också. Resan är så väl förberedd, att den skulle vara så litet ansträngande som överhuvud taget är möjligt. En av mina vänner, en läkare, skulle följa med er och sörja för er hälsa. Resplanen är noggrant utformad. Vi har ordnat med logi hos pålitliga människor för varje dygn av resan mellan Rom och Venedig. Må så vara att vi inte kan erbjuda er sådana bekvämligheter under vägen, som ni åtnjuter i det här huset; men betänk att man vilken dag som helst kan kasta er i det heliga officiums fängelse! Jag menar, att när man har att välja mellan en hygglig herdes koja och fängelset, så borde valet inte vara svårt.

GALILEI: Unge man, jag tror att ni trots era goda avsikter inte kan tänka er in i min situation. Låt oss anta att jag skulle fördra svårigheterna i samband med resan. Men ni har inte alls frågat mig om jag överhuvud taget skulle vilja fly?

TORRICELLI: Ni sade ju förut att ni insåg att det inte var riktigt att komma till Rom; det förstod jag på det sättet, att ni vore beredd att fly, om möjlighet därtill yppades. Är det inte så?

GALILEI: Nej! Jag får inte vika tillbaka och måste föra kampen till sitt slut, fastän mina chanser är mycket sämre än jag ursprungligen antog. Skulle jag fly, så skulle mina fiender triumfera, och i Italien vore det en gång för alla slut med vetenskapens frihet. Just för er skull, i den unga generationens intresse, får jag inte gripa till flykten.

TORRICELLI: Mästare, jag förstår er inte! Ni sade ju just, att ni misstog er när ni räknade med påvens hjälp. På vem hoppas ni således fortfarande? Naturligtvis vet jag att några jesuiter i sitt inre ger er rätt, men tror ni verkligen, att de har mod att opponera sig mot påven? Jag talade nyligen med pater Grienberger och frågade honom rent ut om hans åsikt om er dialog.

TORRICELLI: Han skattar er kristallklara logik och ert oförlikneliga vetande mycket högt. Han har visserligen känslan, att ni genom några inte tillräckligt försiktigt formulerade satser tyvärr gett era fiender förevändningar att vantolka ert arbete och därigenom få en högt uppsatt person att reta sig på er; han själv har emellertid aldrig tvivlat på era ädla avsikter samt finner att era argument vore synnerligen beaktansvärda även om, som han tror, ni har låtit er dras med och gått för långt, och rentav så långt, att han för sin del måste reservera sig. – Tydligen vill han samtidigt förbli både sitt vetenskapliga samvete och kyrkan trogen.

GALILEI: Det är verkligen ett diplomatiskt svar; var och en kan utläsa vad han vill. Därmed har ni naturligtvis rätt i att av så försiktiga vänner inte mycket hjälp är att vänta. Sade han ytterligare något?

TORRICELLI: Ja, något som kanske kan bli viktigt: Han sade, att han anser er vara en god katolik.

GALILEI: Naturligtvis vet pater Grienberger mycket väl att det här inte gäller religion. Min unge vän, ni skall inte låta er vilseledas av att mina fiender uppträder mot mig i rollen av kyrkans försvarsadvokater. Dessa personer har nämligen från första början, ända sedan årtionden, utnyttjat den taktiken, och de har nu verkligen lyckats sätta upp kyrkan mot mig och mot vetenskapen. Här ligger emellertid något helt annat bakom.

TORRICELLI: Vilka är då egentligen era fiender och varför hatar dessa personer er?

GALILEI: Mina verkliga fiender är de obegåvade och halvlärda, som tragglar Aristoteles och vägrar titta i min kikare, för att inte bli tvungna att revidera sina falska läror. De hatar mig, emedan de är rädda för den enda sanna vetenskapliga metoden. Enligt mitt förmenande är det filosofins ändamål att vinna kunskap om naturlagarna; men det kan bara uppnås genom omsorgsfulla iakttagelser, noga genomtänkta försök och analys av dessa. Dessa lagar kan man bara formulera med hjälp av matematiken. Vad däremot mina fiender förstår med filosofi är att kasta citat från Aristoteles i ansiktet på varandra.

TORRICELLI: För mig är det obegripligt hur någon som vill förstå naturen kan avvisa den vetenskapliga metoden. Det som är bestående i Aristoteles läror, det kom, om inte han, så andra grekiska lärda fram till med just denna metod.

GALILEI: Om Aristoteles levde idag, skulle han säkert vända sig med skärpa mot de halvlärda, som bara tragglar om hans ord. Men man skall inte glömma bort, att det för dessa personer ingalunda gäller att förstå naturen, att de inget äkta intresse har för vetenskapen, utan att det enda som är viktigt för dem är att låtsas vara lärda och få bra betalt. Därför har det på intet sätt varit en överraskning för mig att de intrigerar mot mig; jag har redan vant mig vid att de i varje sats, som jag uttalar eller skriver, söker efter något som de kan använda för att bereda mig obehag. För dessa personer passar intriger bättre än forskning, och de har också mer talang för den saken. Tyvärr har deras manipulationer också en störande inverkan på mitt arbete. Jag har fått ödsla bort mina bästa år på att försvara mig mot deras lögner, och nu står jag här, är redan en gammal man, och mitt verk som jag planerar sedan årtionden är fortfarande inte skrivet.

TORRICELLI: Om ni går med på vår plan, kommer ni att få tillfälle att äntligen skriva ert verk, som alla vetenskapligt intresserade människor sedan länge väntar på. Jag förstår inte varför ni inte vill bort från denna ovärdiga belägenhet. Ni kan ändå inte vänta er något gott från era fiender! Era vänner förmår dock inte här företa sig något i ert intresse. Vad hoppas ni ännu på?

GALILEI: Jag sätter nu all min tillit till sanningen! Betänk då, att man egentligen inte alls vet vad man skall anklaga mig för. Dialogen, som själve påven rådde mig att skriva, ingav jag på sin tid till censuren; den prövades grundligt samt släpptes igenom för tryckning. För det kan man således inte göra mig ansvarig … Nu säger man att censorn inte varit nog försiktig vid granskningen, eljest hade han inte tillåtit publiceringen. Det är emellertid inte min sak. De kunde naturligtvis förbjuda dialogen, det skulle inte hindra mig, eftersom den i alla fall är slutsåld sedan lång tid tillbaka; och om de skulle fatta beslutet att bränna dialogen, så vet inte jag varifrån de för det ändamålet skulle ta den, om det så bara gällde ett enda exemplar. Det vore intressant om man för att få bränsle blev tvungen att trycka en ny upplaga! På annat sätt kan de inte alls bevisa att censorn inte gjort sin plikt med nog försiktighet. Jag har hållit mig till kardinal Bellarmins föreskrift, att jag inte får propagera för Kopernikus lära; i min dialog har jag objektivt räknat upp alla argument som talar för den, men också åberopat samtliga dem som talar emot, eller bättre uttryckt, de argument, som tycks tala för Ptolemaios system. Vem som helst, som läser min dialog, kan konstatera, att jag har mer övertygande framfört de skäl som talar för att jorden inte rör sig än någon av mina stupida fiender, som med fradga om munnen domderar mot Kopernikus. Det är inte mitt fel att de skälen inte är särskilt övertygande. Den som kan räkna upp ytterligare skäl för jordens orörlighet, han må kasta första stenen på mig. Vid de hittillsvarande förhören har jag inte kunnat uppnå att få tala om den här saken; man har helt enkelt inte låtit mig komma till tals, utan bara om och om igen frågat varför jag inte gjorde censorn uppmärksam på, att kyrkans heliga officium sysslade med den här frågan redan år 1616. Men det är ju löjeväckande, ty det måste ändå censorn veta bättre än jag. Därpå sade de mig, att det hade varit min plikt att meddela censorn vad kardinal Bellarmin sagt mig i samband med detta för sexton år sedan. Men han gav mig bara det omnämnda beskedet. Därpå frågade man mig om Bellarmin bara hade sagt så mycket som att jag inte fick propagera för Kopernikus lära, eller om han även sagt att jag "på intet sätt fick behandla" den. Men det sade han "på intet sätt". Men jag har ännu en trumf på hand, som jag inte har spelat ut: Jag har i min ägo ett brev, ställt till mig, från Bellarmin, i vilket han nämner vårt samtal. Även där står bara att jag inte får "förkunna" Kopernikus läror.

FRU NICCOLTNI: Och om era fiender trollar fram ett aktstycke i vilket det står motsatsen, vad skall ni då göra?

FRU NICCOLTNI: I historien har redan, och det inte så sällan, förekommit, att man producerat falska dokument.

GALILEI: En sådan gemenhet vill jag inte ens tro mina fiender vara i stånd till.

FRU NICCOLTNI: Glöm då inte bort, att en som kämpar mot sanningen inte kan vara kräsen beträffande metoderna och snärjs allt mer i garnet av lögn och förtal. Varför skulle era fiender dra sig just för att förfalska dokument?

GALILEI: Nej, det anser jag omöjligt! Jag är övertygad om, att när jag visar upp Bellarmins brev, så är den här affären ur världen. Det är också på tiden; det är ändå märkvärdigt, att man ständigt plågar mig med formfrågor, under det att man ännu inte sagt ett enda ord om det egentliga problemet, huruvida jorden verkligen kretsar kring solen och huruvida jorden även roterar kring sin egen axel eller om den vilar orörlig i världsalltets mitt. Om jag någon gång får tillfälle att öppna munnen, så kommer, det är min förhoppning, hela saken att vändas till det bästa.

TORRICELLI: Mästare, om ni fick möjlighet till det, vad skulle ni då säga? Skulle ni undanröja varje tvivel och kunna bevisa att Kopernikus har rätt?

GALILEI: Jag vore lycklig, om jag vore i stånd att göra det; ty, min unge vän, jag är fast övertygad om att detta är sanningen. Men tyvärr är jag inte i den positionen att jag kan bevisa det utan varje spår av tvivel. Det enda jag kan bevisa är, att Kopernikus lära är förenlig med alla för oss kända fakta, att inga kända fakta talar emot den samt att de skenbara motsägelserna samtliga lätt kan förklaras. Jag har bevisat följande: Om jorden rör sig, så kan vi, som lever på den och följer med i dess rörelse, överhuvud taget inte lägga märke till den rörelsen. Kopernikus lära kan således inte vederläggas genom alldagliga rön. Situationen liknar den som är förhanden vad gäller jordens sf äriska form. Också det kunde människor endast svårligen fatta; ännu på Dantes tid sade man att denna föreställning motsade förnuftet, varvid man likaså åberopade sig på alldagliga rön. Man sade, ett om jorden vore sfärisk till sin form, så måste de som befinner sig på andra sidan av denna jordsfär hänga med huvudet nedåt och falla av. Hur mycket galenskaper har man inte hävt ur sig beträffande antipoderna! Nu är dessa diskussioner glömda sedan länge och man har i tanken vant sig vid att jorden är sfärisk till formen. Man hade heller inget annat val än att acceptera faktum efter de första världsomseglingarna. Nu är det precis 111 år sedan Magelians skepp Victoria återkom från sin färd runt jorden. Vi har ännu inte något lika påtagligt bevis för att jorden rör sig; därför är läget så besvärligt för dem som kämpar för sanningen. Jag kan bara visa, att allt vad man hittills har kommit med mot Kopernikus beror på missförstånd och okunnighet. Jag kan bevisa, att solens, månens och planeternas skenbara rörelse låter sig enklare förklaras med hjälp av Kopernikus lära än genom Ptolemaios system. Jupiters månar, Saturnus ringar och Venus skära samt ytterligare en mängd andra fenomen, som jag upptäckt, tycks ge stöd ät Kopernikus teori, men inget av dem utgör ett bevis för den. Under förhöret beskyllde man mig för att bara ha skrivit min dialog för att bevisa Kopernikus lära. Då jag härpå svarade, att jag inte har skrivit dialogen med den avsikten, så sade jag som sanningen var. Jag förteg visserligen, att jag bara fördenskull inte skrivit dialogen i den avsikten, emedan jag tyvärr ännu inte hittills känner till något avgörande bevis.

GALILEI: Jag måste bekänna, att jag, när jag nu efter tre år läste igenom min dialog, var minst nöjd med just den delen. Om jag fick skriva dialogen på nytt, så skulle jag låta den delen antingen helt utgå, eller utforma den på annat sätt.

TORRICELLI: Varför det? Det är ju synnerligen övertygande, det sätt, på vilket ni förklarat fenomenet med ebb och flod genom jordens tvåfaldiga rörelse.

GALILEI: Missförstå mig inte, jag vill med det inte ha sagt, att jag tvivlar på den förklaring jag gett. Det står emellertid nu klart för mig, att därmed endast visats att man enklare kan förklara ebb och flod genom jordens rotation, än utan detta antagande; således är detta bevis inte heller mer tvingande än de andra.

GALILEI: Jag ser, att ni nu funderar över, huruvida det egentligen lönade sig att ta på sig så mycket ont, då jag i alla fall inte kan slutgiltigt avgöra frågan. Nej, ni behöver inte alls opponera er; jag vet, att denna tanke kom för er; den inställer sig självmant. Även jag har under de senaste månaderna funderat mycket över, om det inte hade varit riktigare att vänta några år; kanske skulle jag då ha funnit ett avgörande bevis. Vid närmare eftertanke måste jag besvara den frågan nekande. Jag är redan en gammal man och kan inte vänta länge till; kanske får jag inte uppleva, att man finner ett avgörande bevis. Jag hade emellertid en känsla av, att mina överväganden, även om de inte slutligt besvarar frågan, är av tillräcklig betydelse för att spridas. Jag ansåg det vara min plikt att sammanställa allt jag visste, om det så bara vore till deras hjälp, som söker efter ett avgörande bevis. Men jag fruktar, att det är långt dit. Även själva Kopernikus lära måste fulländas, emedan den inte exakt beskriver planeternas skenbara rörelser; avvikelserna mellan teori och observationer har ännu inte förklarats.

TORRICELLI: Kepler påstår, att man skulle erhålla en bättre överensstämmelse, om man antar att planetbanorna är ellipser, i vilkas ena brännpunkt solen är belägen samt att planeterna inte rör sig med likformig hastighet, utan så att produkten av hastigheten och längden av den från brännpunkten utgående, mot hastighetsriktningen vinkelräta, sträckan är konstant.

GALILEI: Säger Kepler verkligen så? Det förvånar mig, det har undgått min uppmärksamhet. Men jag tror inte, att dessa antaganden är nödvändiga. Varför skulle planeterna röra sig efter ellipsformiga banor? Påminner det inte litet för mycket om de epicykler, med hjälp av vilka man sökte rädda Ptolemaios system? Att planeterna rör sig med likformig hastighet efter cirkelformiga banor, är den enda hypotes, som jag kan se förklarad av mekanikens lagar, och den är samtidigt den enklaste.

TORRICELLI: Det som är enkelt behöver inte dessutom vara sant. Ärade mästare, ni gjorde er ju själv lustig över de dumhuvuden, som inte vill hålla för sant, att det på månen också finns berg, fastän man bara behöver titta i kikaren för att se dem tydligt. Om det fanns berg på månen, då vore månen inte exakt sfärisk och därför inte fullkomlig, menade de.

GALILEI: Det är naturligtvis ett löjeväckande argument, och ännu mer löjeväckande är det, med vilket Clavius försökte rädda månens sfäriska form: Månens dalar skulle vara fyllda med en osynlig massa, så att månen ändå vore exakt sfärisk, även om man kunde se bergen. Med samma rätt kunde jag påstå att Clavius egentligen hade åsneöron. De var emellertid av sådant fullkomligt genomskinligt och fint material, att man varken kunde se eller känna dem och inte heller på något annat sätt märka dem. Däremot måste Keplers hypotes, att planetbanorna är ellipser, dessutom noga prövas. Om man inte begränsar forskningens frihet, kommer detta problem att med tiden få sin lösning. Det som i dagens situation är viktigast, är att kyrkan inte slår vetenskapen i bojor, vad gäller frågan om jordens rörelse och andra frågor som gäller naturen. Man säger, att min dialog är en trosbekännelse till Kopernikus system. På det svarar jag, att dialogens huvudsyfte var kampen för den vetenskapliga forskningens frihet. Därför skrev jag dialogen, och därför uthärdar jag alla förföljelser, som jag drog på mig med detta arbete. Sanningen hos Kopernikus lära kommer förr eller senare att visa sig. Det är något annat som gör mig mycket mer beklämd. Om det i den här processen inte lyckas mig att tillkämpa mig min rätt, så kommer, åtminstone i Italien, forskningen att förlamas för lång tid framåt. Till vad nytta då, att jag själv flyr till Nederländerna? Bortsett från att jag svårligen kan föreställa mig hur jag skulle kunna börja ett nytt liv i främmande land vid min ålder, så skulle det betyda, att jag gav upp kampen innan den var förlorad. Så länge det hos mig lever en minsta tillstymmelse av hopp, kommer jag inte att ge vika. Vill ni vara snäll och till era vänner framföra de varmaste hälsningar från mig; det har verkligen gjort mig gott att erfara, att det finns folk, som ser det som sin huvuduppgift att hjälpa mig.

TORRICELLI: Med mig och mina vänner kan ni i allt och alltid räkna; vi kommer alltid att göra vad vi kan. Jag fruktar bara, att det kan bli för sent, om vi alltför länge skjuter på förverkligandet av våra planer. Adjö, mästare; underrätta oss när ni ändrat mening om vår plan eller när vi kan vara er till hjälp i andra avseenden.

GALILEI: Adjö, min käre vän, tack för att ni kom, och tack för allt ni ville göra för mig. Adjö!

FRU NICCOLTNI: Jag skall följa er ut … Denne Torricelli är en älskvärd ung man … Signor Galilei, smaka på dessa härliga florentinska persikor; när man ser på dem glömmer man alla bekymmer … Jag har åhört ert samtal med stort intresse, men jag har inte förstått allt. Om ni får tid någon gång, skulle jag vilja be er att förklara ett och annat för mig.

GALILEI: Men gärna, det kunde ske nu genast. Jag samtalar gärna med er, Katharina, emedan ni har ett sunt ofördärvat förstånd, som inte förstörts genom skolastisk bokstavslärdom.

FRU NICCOLTNI: Vill ni inte hellre ta igen er? Har inte samtalet tröttat er för mycket?

GALILEI: Inte alls, det har bara gjort mig en smula upprörd. Jag är inte trött och talar gärna med er om vadhelst ni önskar. Säg mig vad ni skulle vilja ha reda på.

FRU NICCOLTNI: Jag förstår inte varför ni säger om Kopernikus lära, att ni är övertygad om dess sanning, men att ni ännu inte kan bevisa den. När ni inte kan bevisa denna lära, hur kommer det sig då att ni är övertygad om dess sanning? Om ni emellertid har ett gott skäl för det, varför behöver ni då ytterligare bevis?

GALILEI: Det är en krånglig fråga, som inte kan avfärdas med några få ord. För att kunna svara er, måste jag till att börja med säga er något om den vetenskapliga metodens väsen. Innan jag börjar, skulle jag vilja fråga om en sak: Hur listade ni ut, att er tjänare spionerade på mig?

FRU NICCOLTNI: Jag berättar gärna för er vad som hände. Jag lade märke till, att Giuseppe – så heter karlen – allt emellanåt försvann för några timmar. När jag förra fredagen vid middagstid gick till marknadsplatsen, såg jag honom viska i porten med en dominikanermunk. Det var misstänkt, men jag var ännu inte säker på min sak. Därför sade jag mig, att jag skulle sätta den skurken på prov. Jag stoppade ner en av mina falkar i en säck och bad pater Castelli, att han skulle sända oss säcken, som om den var avsedd för signor Galilei. När man knackade på dörren, befallde jag Giuseppe att öppna. Några minuter senare tittar jag efter honom och får se, hur falken flyger omkring i trapphuset och Giuseppe försöker fånga den med handen blödande. Jag var redan så gott som säker på min sak, men då började jag tvivla: Kanske är han alls ingen spion, utan bara nyfiken. Då beslöt jag mig för ett sista prov. Jag skrev ett brev om er till ärkebiskop Ascanio Piccolomini; brevet lät jag avsiktligt ligga öppet på bordet. Sedan spillde jag ut bläcket på golvet och befallde Giuseppe att torka upp det. Under tiden satte jag mig på terrassen, med ryggen vänd mot honom, men iakttog honom i min lilla venezianska spegel. Och då får jag se hur den drummeln ivrigt läser brevet och gör anteckningar. Nu var jag redan alldeles säker på min sak, men som en sista kontroll kallar jag nästa dag på honom och frågar: Giuseppe, kan du läsa och skriva? Varpå han svarar, att han inte ens kan skriva sitt eget namn. Efter det sade jag till honom: packa dig iväg ur mitt hus, en så okunnig dumbom har jag ingen användning för. Men jag vet inte egentligen, vad det skall tjäna till att jag tråkar ut signor Galilei med den här historien.

GALILEI: Nej då, ni tråkar inte alls ut mig! Av det ni har berättat, finner jag, att ni har mer sinne för den vetenskapliga metoden än alla peripatetiker vid universitetet i Padova tillsammans. Hur var det egentligen ni gick tillväga i det här fallet? Ni hade iakttagit, att Giuseppe ofta försvann från huset, och ni frågade er vad det kunde finnas för orsak till det. När ni såg att han viskade med dominikanermunken, uppställde ni en hypotes, den nämligen, att han var spion. Sedan lade ni inte händerna i kors och väntade tills en ny iakttagelse händelsevis erbjöd sig, planerade i stället experimentet med falken, varvid ni sade till er själv: Om Giuseppe är spion, kommer han att öppna säcken. Nu öppnade han den faktiskt. En ytligare person hade därmed ansett sin misstanke bevisad. Ni däremot frågade er: Kan man inte också förklara Giuseppes beteende på annat sätt än det enda, att han spionerade? Och ni svarade strax också på frågan: Man kan även förklara det på annat sätt, kanske var han bara nyfiken. Ni insåg, att experimentet visserligen hade väntat resultat, men att det ännu inte avgjorde saken. Så tänkte ni ut ett andra försök, det med brevet. Resultatet blev åter det väntade. Trots detta gjorde ni ännu ett sista försök: Ni frågade honom om han kunde läsa och skriva. Då Giuseppe nekade till det, blev ni övertygad om att han verkligen var spion, och gav honom genast sparken … – Den som utforskar naturens hemligheter måste i allt väsentligt gå till väga på liknande sätt. På basis av observationer uppställs en hypotes; denna prövas genom omsorgsfullt genomtänkta försök. Man får inte låta sig nöja med några naturen avlockade ord, utan måste ta naturen i korsförhör genom experiment! Om ett försök, som vi planerat med ledning av vår hypotes, inte ger det förväntade resultatet, måste vi förkasta vår hypotes. Men om försöket ger ett resultat, som under antagandet av vår hypotes är att vänta, så är inte därmed hypotesen på långt när bevisad. Man måste fråga sig, om resultatet inte också låter sig förklaras på annat sätt. Om vi hittar en sådan förklaring, och det alltså finns ytterligare en hypotes med vilken man kan förklara resultatet av försöket, så måste vi fundera ut ett nytt experiment, som leder till olika resultat, beroende på om det är den första eller den andra hypotesen som är riktig. Om resultatet åter står i samklang med vår första hypotes samt motsäger den andra, så måste vi förkasta eller modifiera den senare.

FRU NICCOLTNI: Men detta förfarande har ju inget slut! Man kan ju alltid finna sådana tokiga förklaringar, som "förklarar" alla vid ett visst tillfälle utförda försök. Att Giuseppe läste mitt brev, kan man också förklara med hans nyfikenhet; att han gjorde anteckningar, kan visserligen inte längre förklaras enbart med hans nyfikna natur, men man kunde hitta på någon konstlad förklaring till det, någonting i stil med att han funnit behag i några stilistiska vändningar i brevet och att det var därför han skrev av dem. Och att han förnekade att han kan läsa och skriva, kan också förklaras med att han var rädd att få för mycket skrivarbete i uppdrag. Betyder inte det, att man beträffande en hypotes som rör förhållanden i naturen i bästa fall kan vederlägga den, men egentligen aldrig bevisa den?

GALILEI: Nej, riktigt så är det inte. Naturligtvis kan man efter varje experiment, som motsäger en hypotes, ändra på hypotesen, så att motsägelsen skenbart försvinner. Det är likväl inte likgiltigt, huruvida man med en enkel och naturlig hypotes kan förutsäga resultatet av talrika av varandra oberoende experiment, eller huruvida man, för att rädda en genom experiment vederlagd hypotes, ständigt måste göra nya konstlade ändringar. Varje nytt experiment, som mynnar ut i ett resultat vilket vi förutsåg på basis av vår hypotes och som man endast med stort besvär kan få att överensstämma med någon annan hypotes, styrker oss i vår övertygelse att vår hypotes är sann. Efter många sådana samstämmiga försök växer hos oss den fasta övertygelsen fram, att vår hypotes är riktig, fastän vi egentligen inte förfogar över något avgörande bevis.

FRU NICCOLTNI: Jag börjar förstå. När jag märker, att jag förgäves lagar en utsliten skjorta, emedan den genast går sönder igen på något annat ställe, då måste jag inse, att det inte lönar sig att laga den mer och att jag måste kasta bort den. Men ni har ännu inte svarat på mitt påpekande, att vi egentligen aldrig kan vara fullt säkra på om en hypotes angående naturen är sann.

GALILEI: I grund och botten kan man faktiskt aldrig bevisa fysikaliska hypoteser angående naturen, på samma sätt som man bevisar en matematisk sats, det vill säga, härleda den ur vissa grundantaganden, axiom, genom logiska slutledningar. Hypoteser angående naturen är egentligen själva axiom, och inte ens inom matematiken bevisas axiomen. Geometrins axiom Jean man likaledes inte bevisa, om dess riktighet kan vi endast övertyga oss genom att den på dessa axiom baserade geometrin riktigt beskriver det rum vi lever i. Fysikaliska hypoteser kan man i allmänhet inte heller direkt kontrollera genom erfarenheten. Vi kan endast ur dessa hypoteser dra slutsatser vad gäller iakttagbara, genom experiment kontrollerbara fenomen samt återigen kontrollera dessa slutsatser. Och härledningen av slutsatser ur hypoteser sker just med hjälp av matematiken, närmare bestämt så, att vi behandlar våra hypoteser som axiom och drar slutsatser ur dem med matematisk precision.

FRU NICCOLTNI: Nu står det också klart för mig, varför man använder matematik vid undersökning av naturens fenomen.

GALILEI: Hittills har jag bara nämnt ett skäl till att matematiken är oumbärlig för förståelsen av naturen. Det finns även ett annat, djupare liggande skäl: Naturlagarna kan överhuvud taget inte uttryckas annat än i matematisk form, gestaltade i matematiska formler. Annorlunda uttryckt: I naturens storslagna bok kan bara den läsa, som känner det språk, på vilket denna bok är skriven, och detta språk är matematiken. Den som bara pratar om naturen, i stället för att observera den och tvinga den att tala genom försök, kommer aldrig att förstå naturen. Men när det lyckas oss att få naturen att tala, så talar den på matematikens språk, och om vi inte förstår det språket, då har vi ansträngt oss förgäves, vi kan inte förstå vad den säger … Därvidlag är det inte tillfyllest om någon endast ytligt kan detta språk – tyvärr finns det gott om sådana filosofer –, ty då kan det lätt hända att han missförstår vad naturen säger, och när sedan en dylik person vill uttrycka sina egna tankar på matematikens språk, så resulterar det bara i ett stammande som väcker medlidande. Det finns många naturvetare och filosofer, som har egendomliga – jag ville säga, barbariska – åsikter om matematiken. Idag kan de inte längre bestrida, att matematiken är nödvändig, men de tror, att om man bara vill utnyttja den för att undersöka naturens fenomen och inte vill ägna sig åt den i sig själv, behöver man inte befatta sig djupare med den. Dessa inskränkta personer påstår, att för dem är det nog med de färdiga resultaten, med bevisen och den exakta formuleringen av lagarna vill de inte vare sig slita, eller ta sig tid och tålamod till det. Det är precis lika galet som om någon skulle säga "låt oss skära av trädens rötter och blad, vi behöver bara frukterna". Matematiken är ett organiskt helt: Den som vill njuta dess frukter, måste – vare sig det passar honom eller ej – ta detta ad notam.

FRU NICCOLTNI: Jag förstår inte, hur någon kan vilja utnyttja matematiken och trots detta visar sig oförstående och fientlig inför dess väsen. Jag är verkligen en nybörjare när det gäller matematik och vet bara det som signor Galilei har lärt mig under våra samtal. Det vore således oförsynt av mig, om jag yttrade min mening i en så allvarlig fråga. Det är visserligen något som har fallit mig in, men jag vill inte tråka ut er med det; signor Galilei vet ändå mycket bättre allt jag kunde säga.

GALILEI: Tala ni lugnt ut, det intresserar mig mycket, att få höra vad ni har lagt märke till. Era frimodiga ögon ser ofta saker, som undgår mina lärda kollegers uppmärksamhet.

FRU NICCOLTNI: Jag har insett, att jag först då verkligen förstår en matematisk sats, när jag har begripit beviset för den. Jag kan till och med påminna mig, att jag först då har förstått mången sats, när signor Galilei har demonstrerat ett andra, från det första helt skilt bevis för mig. När det första gången inträffade, att ni gav flera bevis för en sats, insåg jag inte – det skall jag tillstå –, vad det skulle tjäna till, om det då inte räckte med ett bevis. Efter ett tag märkte jag att det verkligen är till nytta. Ett konstverk skall man inte heller bara betrakta ur en synvinkel, man måste titta på det från flera håll … Jag förstår naturligtvis, att många drar sig för de krångliga bevisen; även jag har ofta förskräckts av de långa och invecklade kedjorna av slutledningar, som jag måste följa länk för länk. Jag har ofta känt mig som en bergsbestigare, som över livsfarliga avgrunder klättrar mot toppen och därvid bara tittar på sina fötter så att han inte halkar. Men när man har nått toppen och överblickar inte bara den väg man tillryggalagt, utan hela det panorama, som breder ut sig framför en, då får man i alla fall kompensation för sina ansträngningar. Till en början var det endast förväntan på denna utsikt som fick mig att anstränga mig att förstå de svåra bevisen, men jag lade senare märke till, att de överraskande och snillrika vändningarna likaledes beredde mig glädje. Jag tror, att det är på liknande sätt med bergsbestigare. Först underkastar de sig den väldiga ansträngningen bara i förhoppningen att få njuta av en storslagen utsikt; men när de har en smula övning, då har redan klättrandet, övervinnandet av hinder, uppfinnandet av nya tekniker blivit till en källa av glädje för dem.

GALILEI: Ni kan inte föreställa er hur lycklig jag blir när jag hör era utläggningar. Jag har under min långa levnad haft få elever, som så väl förstått mig och matematikens verkliga väsen. Det är ju också därför som jag så gärna samtalar med er. Jag såg hur era ögon lyste, och därigenom erfar jag att ni har förstått sakens väsen. Under hela mitt liv har vid min undervisning detta att det lyst till i mina elevers ögon inneburit den största glädjen för mig. Det är som med elden i kaminen, som vi får blåsa på och röra om i så länge, tills den på en gång flammar upp och lyser klart. Det finns lärare, som har för vana att undervisa i matematik på så sätt, att de lägger tyngdpunkten på inlärandet av satser som utantillkunskap och utbildning av rutiner. Enligt mitt förmenande är de klåpare; en sådan undervisning är inte mycket värd. En god lärare inriktar sig i första hand på frågan "varför" och på förståelsen samt bemödar sig om att vänja eleven vid ett självständigt tänkande. Den som i stället för en verklig förståelse bara lär in regler, kommer för det mesta inte heller att kunna tillämpa dem riktigt; ty man kan bara räkna väl om man samtidigt tänker. Den som i stället för att tänka bara räknar, han räknar mestadels alltför omständligt och ofta inte alls det han har användning för. Då är emellertid resultatet värdelöst, även om han har räknat rätt. Till det som ni har sagt, skulle jag bara vilja foga två iakttagelser. Matematiken är verkligen nyttig, ja rentav oumbärlig, om man vill förstå naturen eller ta naturens krafter i sin tjänst genom maskiner. Dessutom är matematiken intressant och skön, ett eggande och vidunderligt äventyr för människoanden. Matematikens skönhet är enligt mitt förmenande ingen bisak, utan tillhör själva dess väsen. Verklig sanning är alltid skön, och äkta skönhet är alltid sann. De gamla grekerna visste detta mycket väl. De, om vilka jag sade att de har en barbarisk uppfattning om matematiken, saknar förståelse för just det här. De har inte sinne för denna skönhet, eller kommer inte tillräckligt långt för att lägga märke till den. För så vitt de ändå blir varse matematikens skönhet, betraktar de den med misstro. De tror, att skönheten är en lyx som är umbärlig, samt menar, att de kommer verkligheten närmare om de bortser från denna skönhet. De tycker om den praktiska människans roll; den, som tränger in i matematikens verkliga väsen, föraktar och hånar de som varande fantast. Ingenting är så omotiverat som det högmod, med vilket dessa personer egentligen bara söker skyla över sin egen inskränkthet. Det var just i sådant högmod, som Alexander den store i maktlöst raseri högg av den gordiska knuten med sitt svärd, när han inte förmådde få ut dess hemlighet. Vid de barbariska tyrannernas hov i Orienten var konst och vetenskap verkligen endast en lyx. Men hos de gamla grekerna var konst och vetenskap organiska delar i deras liv; de tjänade med sina olika medel samma syfte: att människan skulle förstå sig själv och den värld hon lever i. Efter 2000 år har vi äntligen kommit så långt, att vi kan fortsätta det grekerna påbörjade. Vi måste starta på den punkt där Arkimedes slutade.

FRU NICCOLTNI: Ni har rätt, det är ju också vad våra konstnärer gör. Men ni ville ju anföra två iakttagelser beträffande det jag sade; vilken är den andra?

GALILEI: Min andra iakttagelse hänger nära samman med den första. Hittills har jag talat om matematikens skönhet, om den glädje som den verkliga förståelsen framkallar, liksom om den om vilken det vittnar, att ögonen lyser upp hos en elev. I detta avseende kan man faktiskt jämföra matematiken med konsten, som verkar upplyftande på oss och gör oss rörda. Denna glädje får man likväl inte till skänks; man måste arbeta hårt för det. Er jämförelse med bergsbestigaren är just därför så träffande, att den stämmer också i detta avseende. Utan allvarlig intellektuell ansträngning kommer ingen långt inom matematiken. Men den som en gång erfarit den glädje som finns i den klara insikten kommer även att vara redo att på allvar bjuda till för att få uppleva den. Vid matematikundervisningen borde det vara ett av huvudmålen, att göra de studerande bekanta med den glädjen och att vänja dem vid disciplinerat logiskt tänkande, vid koncentrerad intellektuell ansträngning, utan vilka ingen framgång är möjlig inom matematiken. Och en sak till: Den som genom matematiken har tillägnat sig det logiska tänkandets konst, kommer att ha nytta därav på livets alla områden.

FRU NICCOLTNI: Ni är således inte ense med de personer, som säger att det inte vore bra, om var och en tänkte efter sitt eget huvud, det skulle leda till anarki och det är bättre om människor följer auktoriteter.

GALILEI: Mitt liv har utgjort en ständig kamp mot sådana uppfattningar. Nu har man också fördenskull ställt mig under åtal. Jag skulle bara vilja nämna ett exempel: Aristoteles trodde, att det behövs kraft för rörelsens upprätthållande. Men det är en villfarelse: I min nya bok kommer utgångspunkten att vara det grundläggande, genom talrika observationer bekräftade konstaterandet, att det bara för en förändring av hastigheten erfordras kraft; när ingen kraft alls verkar på en kropp i rörelse, då bibehåller den sin hastighet oförändrad. Människan har i nära nog 2000 år hindrats från att lägga märke till detta enkla faktum, utan vilket man överhuvud taget inte kan förstå rörelsens väsen, emedan hon har trott mer på Aristoteles auktoritet än på sina egna ögon. Jag har ständigt strävat efter att tänka efter mitt eget huvud, och om jag uppnått någonting inom vetenskapen, så är det endast därför. Ett självständigt tänkande är emellertid oumbärligt inte bara inom vetenskapen, utan på alla livets områden. Enligt min mening är människor inte får, som måste drivas till krubban med skällande hundar. Människan skiljer sig från djuren i första hand därigenom, att hon har ett huvud att tänka med. Den som är emot att människan tänker självständigt, vill sänka henne till djurens nivå. Men vi har avsevärt avvikit från vårt egentliga ämne. Jag vet inte alls, om jag har besvarat er verkliga fråga?

FRU NICCOLTNI: Jag förstår alltjämt inte riktigt vad ni tänkte på, när ni sade till Torricelli att ni ännu inte funnit det avgörande beviset för Kopernikus lära. Av det som ni nyss sade följer ju, att ett avgörande bevis inte alls är möjligt.

GALILEI: Där har ni fel, signora. Det måste existera ett bevis, som slutgiltigt vederlägger föreställningen att jorden vilar orörlig i världsalltets mitt medan solen roterar kring jorden. När jag talade om ett avgörande bevis för Kopernikus lära, avsåg jag med det en observation eller ett experiment, som inte på något förnuftigt sätt kan uppfattas som förenligt med den ptolemaiska världsbilden. Jag är ständigt på jakt efter ett sådant bevis. För att ni skall förstå varför det problemet är så svårt, kan ni tänka er följande experiment. Föreställ er att ni befinner er på ett skepp inne i en stängd kajuta utan fönster. Om ni vaknar på natten, så kan ni inte konstatera, om skeppet ligger stilla eller om det rör sig rakt fram med likformig hastighet; mellan dessa båda möjligheter kan ni, om ni stannar kvar i kajutan, inte ens om ni har mätinstrument till ert förfogande träffa ett avgörande. Om ni låter ett föremål falla till golvet, så kommer det att falla på samma sätt, oavsett om skeppet ligger stilla eller rör sig likformigt. Om emellertid skeppets rörelse ändras – med avseende på riktning eller hastighet –, så märker ni snart det. Men så länge skeppet rör sig likformigt och rätlinjigt, kan man inte konstatera rörelsen inne i kajutan. Det är klart, att om kajutan har fönster och ni tittar ut genom det och ser stranden, då kan ni konstatera om skeppet rör sig i förhållande till stranden. Men om ni är på öppna havet och ni i bästa fall ser ett annat skepp genom fönstret samt ni märker att det skepp, som ni färdas med, rör sig mot det andra, så kan ni återigen inte konstatera, om det är ert skepp eller det andra som rör sig, eller om båda skeppen rör sig.

FRU NICCOLTNI: Det kan jag förstå, men enligt Kopernikus lära är jordens rörelse kring solen inte rätlinjig, utan den är en rotationsrörelse. Men då gäller väl detsamma som i fallet med skeppet som ändrar riktning, något som – enligt vad ni sade – man även kan lägga märke till i den stängda kajutan?

GALILEI: Om skeppet ändrar rörelseriktning mycket långsamt, så är detta även mycket svårt att upptäcka; vi förnimmer endast plötsliga riktningsförändringar. Jorden behöver ett helt år för att göra ett varv kring solen, och därvid förändras på en timme rörelseriktningen endast föga. Därigenom är det så svårt att iaktta den.

FRU NICCOLTNI: Och hur är det med jordens rotation kring sin egen axel? Om jag har förstått saken rätt, roterar jorden enligt Kopernikus ett helt varv på ett dygn. Kunde man inte på något sätt omedelbart iaktta den vridningen?

GALILEI: Det framgår av er fråga, att ni redan mycket väl förstår vad det är för sorts avgörande bevis jag söker. Men som jag redan sagt har jag ännu inte funnit det. Jag hoppas likväl, att vetenskapen förr eller senare finner ett sådant bevis.

FRU NICCOLTNI: Förut sade ni, att naturlagarna är skrivna på matematikens språk. Jag förstod inte det helt och hållet. Kan ni förklara det med ett exempel?

GALILEI: Kom här till fönstret. Titta på den här kulan, som jag nu låter falla ner; observera hur kulan faller från fönstret till marken. Är det något ni lägger märke till?

GALILEI: Så är det faktiskt också; men på vilket sätt sker hastighetsökningen? Bakom ligger dold en lag av en underbar enkelhet: De vägar som kulan tillryggalägger under lika långa tidrymder, förhåller sig till varandra som de udda talen; med andra ord, under den andra sekunden är den tillryggalagda vägen tre gånger så stor som under den första, under den tredje sekunden redan fem gånger större, under den fjärde sekunden sju gånger större o. s. v. Annorlunda uttryckt: En fallande kropps rörelse är en likformigt accelererad – eller likformigt olikformig – rörelse. Redan skolastikerna sysselsatte sig med denna rörelse, men de behandlade den inte matematiskt. Men utan matematik är det inte möjligt att rätt förstå denna form av rörelse.

GALILEI: Vänta, jag är ju ännu inte alls färdig med det som jag ville framhålla rörande fallande kroppar. Vad jag hittills sagt, kan man även uttrycka sålunda: Hastigheten hos en fallande kropp tilltar proportionellt mot tiden. Låt oss nu undersöka, hur stor den tillryggalagda vägen är för en fallande kropp från det att fallrörelsen inleds och intill en godtycklig tidpunkt därefter. Om vi betecknar den väg, den tillryggalägger under den första sekunden, med a, då är, som jag sade, den under den andra sekunden tillryggalagda vägen lika med 3a, således totalt under två sekunder a + 3a = 4a. Minns ni, hur lång väg kroppen faller under den tredje sekunden?

FRU NICCOLTNI: Naturligtvis gör jag det, det var fem gånger så mycket som under den första, alltså 5a, och följaktligen tillryggalägger den totalt 4a + 5a = 9a under tre sekunder, och för fyra sekunder blir det en väg motsvarande 9a + 7a = 16a.

GALILEI: Alltså på två sekunder 4a, på tre sekunder 9a, på fyra sekunder 16a. Kan ni se någon regelbundenhet i detta?

FRU NICCOLTNI: Mig förefaller det som om vägen vore proportionell mot kvadraten på tiden. Är det rätt?

GALILEI: Ni gissade det; till på köpet gäller detta inte bara för hela sekunder, utan regeln är giltig för varje tidrymd.

GALILEI: Mycket enkelt: Teckna en rät linje och välj på den en utgångspunkt, som alltså svarar mot den tidpunkt då rörelsen inleds. Välj vidare ett godtyckligt avstånd, som skall representera tidsenheten. Då kommer varje punkt på den räta linjen, som ligger till höger om utgångspunkten, att representera en tidpunkt. Nu tecknar ni i varje sådan punkt en sträcka vinkelrätt mot den räta linjen, så att längden av varje sträcka är lika med den fallande kroppens hastighet vid motsvarande tidpunkt. Eftersom hastigheten växer likformigt med tiden, kommer samtliga sträckors ändpunkter att ligga på en stråle som utgår från utgångspunkten.

FRU NICCOLTNI: Det förstår jag, men vill ni förklara för mig, hur man ur denna figur kan avläsa den intill en viss tidpunkt tillryggalagda vägen?

GALILEI: Mycket enkelt; den intill en viss tidpunkt tillryggalagda vägen är lika med arean av den triangel, som begränsas av följande sträckor: den så kallade tidsaxeln, sträckan som dragits med den givna tidpunkten som utgångspunkt och som motsvarar hastigheten, samt sträckan mellan dennas ändpunkt och utgångspunkten.

FRU NICCOLTNI: Kanske ni vill förklara det utförligare. Jag förstår fortfarande inte varför det är på det sättet.

GALILEI: Om hastigheten förblev oförändrad, då vore den tillryggalagda vägen lika med produkten av tiden och hastigheten. När tiden åskådliggörs på den horisontella axeln och hastigheten som lodrätta sträckor på denna, så är den tillryggalagda vägen lika med arean av den av dessa sträckor bildade rektangeln. Om emellertid hastigheten förändras, så är situationen något mer komplicerad, men även i det fallet motsvaras den tillryggalagda vägen av en area. Är hastigheten under en tidsperiod konstant och sedan ökar språngartat, så är den tillryggalagda vägen lika med summan av areorna av två rektanglar. Om hastigheten förändras språngartat vid upprepade tillfällen, men förblir konstant mellan sprången, så är vägen lika med summan av areorna av de lika många rektanglarna med olika höjd. Men om hastigheten växer kontinuerligt och därtill likformigt, så är den tillryggalagda vägen lika med arean av en triangel. För att inse detta, behöver man bara föreställa sig, att triangeln är sammansatt av oändligt många olika långa parallella sträckor, det vill säga av oändligt många oändligt smala rektanglar.

FRU NICCOLTNI: Det är sannerligen häpnadsväckande. Den här saken kommer alltså att finnas upptagen i er bok om rörelsens matematik?

GALILEI: Den tillsammans med många fler lagar av liknande slag. Så kan man exempelvis på liknande sätt också räkna ut att en snett uppåt kastad sten följer en parabelformig bana. Man kan beräkna med vilken hastighet den far genom luften samt var den kommer ner. Denna fråga är intressant inte bara av praktiska skäl, utan också just därför att jag därigenom kan visa, hur olika rörelser bildar en sammansatt. Det är egentligen obegripligt för mig, att man ända sedan Ptolemaios och rentav sedan ändå längre tillbaka har ansträngt sig att beräkna solens, månens och planeternas skenbara rörelser, som de ter sig från dag till dag, från år till år, men att man aldrig grundligt har undersökt vad som händer när man låter en sten falla eller när man kastar den. Före mig har ingen – möjligen med undantag för Arkimedes, men därom vet vi intet – sysselsatt sig med det. Och om man fördenskull kastar mig in i en ny kättarprocess, så påstår jag ändå, att här på jorden följer kroppars rörelse samma lagar som uppe i himlen.

FRU NICCOLTNI: I enlighet därmed är hela världsalltet likt ett väldigt urverk, i vilket hjulen, från det minsta till det största, rör sig efter exakta lagar!

GALILEI: Dessa underbara regelbundenheter utgör bara ett kapitel i naturens bok. I naturen finns även det tillfälliga, det oregelbundna, det oberäkneliga i hög grad representerade!

GALILEI: Tänk bara på de nya stjärnor, vilka då och då, som till exempel för 60 år sedan, oväntat dyker upp på himlen och under några år strålar allt starkare, för att sedan försvinna lika oväntat som de kom ut i tomma intet. Tänk på solfläckarna, som intill solytan roterar kring solen, plötsligt förstoras, sedan åter förminskas, dyker upp och hopar sig samt försvinner åter. Världsalltet liknar inte helt ett urverk, i många avseenden är det mer likt en oberäknelig, nyckfull kvinna.

FRU NICCOLTNI: Av det ni säger tycks följa att det i naturens bok även finns kapitel, som inte är skrivna på matematikens språk, emedan de, som ni säger, är oberäkneliga.

GALILEI: Där tar ni miste, signora, men ert misstag är förklarligt; ty den matematiska beskrivningen av de tillfälliga fenomenen har ännu inte trampat ut barnskorna. Trots detta är den möjlig, som jag nyligen har visat med hjälp av ett enkelt exempel.

GALILEI: Det handlar om tärningsspelet, detta urgamla och ännu idag populära hasardspel. När vi kastar en tärning, beror det helt på slumpen, vilken av dess sidor som kommer upp. Om sidorna som vanligt betecknas med 1, 2, 3, 4, 5 och 6 prickar samt vi bara kastar en gång, så är det enda vi kan påstå, att det tal vi får när vi kastar är något av dessa sex tal. Men om vi kastar ofta, så kan man observera vissa lagbundenheter; om vi antecknar antalet prickar, så kommer alla sex möjligheterna att förekomma i det närmaste lika ofta. Men ännu intressantare blir det om vi kastar två tärningar samtidigt och adderar antalet prickar på båda tärningarna. Vad för slags regelbundenhet kan man vänta sig beträffande denna summa?

GALILEI: Det är riktigt, men dessa möjligheter kommer inte att förekomma lika ofta. För det mesta kommer vi att få 7 prickar, i ungefär 1/6 av alla kast, därefter 6 och 8, båda i approximativt 5/36 av kasten, 5 och 9 i vardera 1/9 av kasten, under det att summan i 1/12 av alla kast blir 4 respektive 10, och i 1/18 av kasten 3 respektive 11, medan vi slutligen kommer att få 2 och 12 endast i 1/36 av alla kast.

FRU NICCOLTNI: Det låter ganska hemlighetsfullt. Vad finns det för grund för det?

GALILEI: Det är mycket enkelt att förklara! Så till exempel kan vi få 4 som summa på tre sätt, för det första genom att den första tärningen visar I och den andra 3, för det andra genom att den första tärningen visar 3 och den andra 1, samt för det tredje genom att båda tärningarna visar 2. Däremot kan vi endast få 12 som summa på ett enda sätt, nämligen endast i det fall då vi kastar en sexa med båda tärningarna. Därför kommer vi att av summorna få 4 tre gånger så ofta som 12.

FRU NICCOLTNI: Någon gång skall jag ta och pröva denna lag från slumpens matematik vid tärningsspel. Tror ni att jag genom kännedom om den kan vinna mycket?

GALILEI: Ett spel är rättvist, när reglerna är så utformade att ingen av spelarna är i en bättre position än någon annan. Om man formulerar reglerna illa, då kan naturligtvis en av spelarna vinna mycket, om han spelar tillräckligt länge och om han har tillräckligt med pengar, så att han kan hålla på och spela så länge att slumpens lagar gör sig gällande.

2 = 1 + 1
3 = 1 + 2	= 2 + 1
4 = 1 + 3	= 2 + 2 =	3 + 1
5 = 1 + 4	= 2 + 3 =	3 + 2	= 4 + 1
6 = 1 + 5	= 2 + 4 =	3 + 3	= 4 + 2 =	5 + 1
7 = 1 + 6	= 2 + 5 =	3 + 4	= 4 + 3 =	5 + 2 =	6 + 1
8 =	= 2 + 6 =	3 + 5	= 4 + 4 =	5 + 3 =	6 + 2
9 =		3 + 6	= 4 + 5 =	5 + 4 =	6 + 3
10 =			= 4 + 6 =	5 + 5 =	6 + 4
11 =				5 + 6 =	6 + 5
12 =					6 + 6

FRU NICCOLTNI: Jag har aldrig trott, att matematiken finns dold till och med i hasardspel. Vad kallar man den här grenen av matematiken?

GALILEI: Matematikerna, som vant sig vid att syssla med regelbundenheter, med exakta sammanhang, har till helt nyligen ryggat tillbaka för att befatta sig med slumpen, emedan det vid första anblicken tycks som om där inte funnes något att hämta för dem. Också här har Aristoteles auktoritet haft negativa konsekvenser, hans åsikt var ju att matematikens objekt är det oföränderliga. Och vad kan vara mer föränderligt än den nyckfulla slumpen! Till och med ännu mycket äldre fördomar har spelat in här. Sedan urminnes tider har man trott sig skönja gudars vilja i slumpmässiga fenomen som tärningsspel, fåglarnas flykt, de oregelbundna linjerna i levern på offerdjur o. s. v., samt betraktat dem med vördnadsfylld skräck; man upplevde det närapå som hädelse, om någon med mänskligt förstånd vågade utforska dessa slumpmässiga – och därför gudomliga – fenomen. Men människan har sitt förstånd för att använda det.

FRU NICCOLTNI: Det som tilltalar mig hos matematiken – så långt jag känner den genom er, ty mer vet jag inte – är att den är i stånd att göra de mest komplicerade ting enkla, så att i dess ljus saker, som tidigare var ogenomskinliga och oförståeliga, blir kristallklara och tydliga.

GALILEI: Ja, det är sant, men jag måste tillfoga, att matematiken många gånger också visar hur till synes enkla ting egentligen är mycket invecklade.

GALILEI: Jag skall bara ge ett enkelt exempel. Här skriver vi upp heltalen, och begynner med 0. Låt oss föreställa oss talföljden fortsatt i oändlighet. Nu stryker vi i denna följd under kvadrattalen. Ser ni, att ju längre vi går, desto sällsyntare blir kvadrattalen, och desto större blir avstånden mellan två på varandra följande sådana tal.

FRU NICCOLTNI: Ja, faktiskt, avstånden är 1, 3, 5, 7, 9, … , just de udda talen.

GALILEI: Precis som den under jämnstora tidsperioder tillryggalagda vägen, när det var frågan om den fallande stenen. Men om det skall jag inte tala nu. Vad som nu intresserar oss är bara, att kvadrattalen blir sällsyntare; om jag nu påstår, att det finns färre kvadrattal än hela tal, säger jag då något som är sant?

GALILEI: Vill ni nu göra följande. Skriv dit heltalsföljden igen och under varje tal dess kvadrat. I den andra raden står nu endast kvadrattal, och samtliga förekommer bara en gång, eller hur?

GALILEI: Under varje tal står ett kvadrattal, och om två tal är olika, så är även deras kvadrater olika. Följaktligen står det utan tvivel i den andra raden lika mycket tal som i den första. Påstår ni nu fortfarande, att det finns färre kvadrattal än hela tal? Det är alltså uppenbart att vi misstog oss, när vi sade att det finns färre kvadrattal än hela tal.

FRU NICCOLTNI: Ni har alldeles förbryllat mig med det här exemplet. Vad kan man då finna ut av det?

GALILEI: Att det som gäller i det ändliga – som att delen alltid är mindre än det hela –, inte obetingat gäller för det oändliga. Egentligen insåg redan Zenon det; minns ni hans paradox om stadion? Han lade märke till följande: Om man förbinder mittpunkterna C' och B' på sidorna AC och AB i en triangel ABC och utgående från punkten A projicerar förbindelselinjen på sidan BC, så motsvarar varje punkt P' på sträckan B'C' en punkt P på sträckan BC och omvänt. Således finns det lika mycket punkter på sträckan B'C' som på den dubbelt så långa sträckan BC. Zenon lade emellertid inte märke till, att samma paradox uppträder redan i samband med de hela talen.

FRU NICCOLTNI: Med samma metod kan man även visa, att det finns lika mycket jämna tal som hela tal, fastän endast vartannat helt tal är jämnt.

GALILEI: Jag ser att ni verkligen förstått vad jag sagt. Om någon verkligen har förstått någonting, det kan man se på om vederbörande är i stånd att för sig själv utan hjälp omforma det och modifiera det, med ett ord, bilda något nytt.

FRU NICCOLTNI: Så är det faktiskt. En kvinna, som bara kan laga mat strikt efter recept, är ingen verkligt bra kokerska. En bra kokerska avviker efter tycke från receptet, ändrar på anvisningarna, sätter till eller låter det vara med kryddor, så att samma maträtt smakar annorlunda varje gång hon tillreder den.

GALILEI: Med andra ord, en bra kokerska gör experiment, som naturforskaren. Därvid har hon fördelen att slippa ängslas för att man skall anklaga henne för kätteri!

FRU NICCOLTNI: Signor Galilei, ni har berättat så mycket intressant, att jag inte alls har märkt hur sent det har blivit under tiden. Jag tror att det är dags för er att lägga er. Jag är ledsen att jag har hållit er uppe så länge. Ni måste bestämt vara trött av allt ni berättat för mig.

GALILEI: Inte alls, det här samtalet har gjort mig gott, speciellt som jag under tiden har glömt min process.

GALILEI: Tror ni verkligen, att jag inte har märkt att ni så ofta frågar ut mig om matematik, just därför att ni vill ge mig något annat att tänka på än mina bekymmer?

FRU NICCOLTNI: Jag hoppas att ni inte är ond på mig för det! Tro mig, om jag också har sådana baktankar, så intresserar mig verkligen de här problemen. Jag märker att ni, signor Galilei, inte bara kan läsa i naturens bok, utan också i människans själ. Men jag förstår inte, varför ni inte också utnyttjar denna förmåga när det gäller era fiender; ni kunde försvara er mycket bättre och skulle inte reta upp dessa personer i så hög grad.

GALILEI: Att läsa i er änglalika själ är för mig en lika stor glädje som att utforska naturens under. I mina fienders själar har jag emellertid inte för vana att läsa; endast svin finner glädje i att vältra sig i smuts.

FRU NICCOLTNI: Om ni kunde övervinna er motvilja och bestämma er för att uppskatta era fiender efter förtjänst, då skulle ni även ändra er uppfattning om den plan, som dessa hänförda unga människor, i vilkas namn Torricelli talade, har tänkt ut.

GALILEI: Hur, anser även ni att jag skulle fly? Tror ni, att jag borde ha accepterat den plan man erbjöd?

FRU NICCOLTNI: På det kan jag inte svara obetingat ja, bara därför att jag inte kan bedöma, om planen är tillräckligt genomtänkt och om den verkligen skulle lyckas! I ert ställe, signor Galilei, skulle jag i första hand förhört mig om den saken och frågat om alla detaljer. Om planen vore genomförbar – vilket jag tyvärr inte alls är övertygad om –, skulle man realisera den. Jag ville inte blanda mig i ert samtal, men nu när ni frågar efter min mening, måste jag svara uppriktigt.

FRU NICCOLTNI: Ni sade, att ni bara tror på sanningens seger. Jag är också av den åsikten, att sanningen segrar förr eller senare; men jag är inte övertygad om, att vi även får uppleva den. Ni sade, att de anklagelser man kommit med mot er är ogrundade och omöjliga att leda i bevis … Men ni tar miste, om ni antar att inkvisitionen ställer lika stora krav på bevis, som ni, signor Galilei, infört på sådana inom vetenskapen. Men låt oss lämna det, måhända ser jag spöken. Nu är det sannerligen hög tid för er att gå och lägga er. Jag hoppas ni får sova lika gott den här natten som förra.

GALILEI: Förtiden natt drömde jag, att jag satt vid fönstret i mitt rum, och fåtöljen som jag satt i lyftes och steg uppåt i höjden, allt högre och högre ända över molnen. Ni kan inte föreställa er, vilken underbar känsla det var, att skåda ner på den till synes allt mindre jorden, som sken som månen mot den mörka himlen, och att se hur hon rör sig, hur hon i sin bana kring solen rör sig framåt och roterar kring sin egen axel. Jag var lycklig som kanske aldrig förr i mitt liv, emedan jag med egna ögon såg att jorden rör sig! Jag tog fram mitt teleskop, och jag, som hittills bara spanat mot himlen från jorden, tittade nu ner på jorden från himlen. Det var ett synnerligen förnämligt teleskop, mycket, mycket bättre än alla de jag hittills kunnat tillverka, så att jag även kunde urskilja några ansikten. Föreställ er, jag såg Inchofer och Pasqualigo, dessa båda åsnor, hur de promenerade längs stranden av Tibern, ivrigt diskuterande något. Jag vred på en skruv på mitt teleskop och hörde märkvärdigt nog deras tal; de talade om jordens rörelse, och den ene högljuddare än den andre förklarade att det var en falsk och kättersk lära; men utan att bekymra sig om deras pladder rörde sig jorden majestätiskt framåt, tillsammans med de två som högljutt gjorde narr av mig och Kopernikus; det hela föreföll mig så löjligt att jag brast ut i ett ljudligt skratt; jag skrattade så att tårarna rann och vaknade av det.

FRU NICCOLTNI: Det var verkligen en skön dröm. Kanhända hade det varit än skönare, om ni drömt om en tidsålder, då barnen redan i skolan får lära sig att jorden roterar kring solen.

GALILEI: Jag drömmer ofta om den tidsåldern och är övertygad om att den kommer. Vetenskapens framåtskridande kan man inte hejda. Jag vet, att framåtskridandet aldrig sker i rät linje och obehindrat, det utvecklas liksom vinrankan i en slingrande bana uppåt. Eftersom vetenskapen är en människans skapelse, måste nya tankar också i framtiden slåss med de gamla. Sanningen kommer emellertid att träda i dagen, som grönskan spirar fram ur klippan, och över många ting, som idag är en gåta för oss, kommer ljus att falla. Men många gånger är jag bekymrad över vad mänskligheten skall ta sig till med sitt vetande, om människorna kommer att vara lyckligare då. I min ungdom trodde jag i min barnslighet, att en människa som sysslar med vetenskap nödvändigtvis måste vara god. Där misstog jag mig verkligen. Kommer det att bli annorlunda i de tider, som vi drömmer om? Kommer man inte att även då ha sina fördomar och dogmer? Kommer det också då att finnas obegåvade, avundsjuka, illvilliga och intrigerande människor? Kommer gemena baktalare att smutskasta anständiga människor? Kommer det även då att finnas kryp som parasiterar på vetenskapens levande träd?

FRU NICCOLTNI: Sannerligen, när vi tänker på framtiden, kan vi bara önska och fyllda av oro hoppas, att mänskligheten må växa till inte bara vad gäller vetande utan i mänsklighet tillika! Jag är övertygad om, att det i kommande generationer ständigt kommer att finnas människor, som sätter som mål för sitt liv att förverkliga den tidsålder, vilken vi längtar efter. När dessa människor blickar tillbaka på vår tid, skall de se, att Galileo Galilei höjde sig högt över huvudet på sina samtida, och de kommer att fyllda av stolthet förklara sig vara hans lärjungar, hans verks fullföljare och hans drömmars arvtagare.

En optimistisk författare skriver inte något förord till sitt verk, emedan han hoppas att boken skall tala för sig själv. Han är övertygad om, att det han vill ha sagt kommer att förstås av läsarna också utan särskild förklaring.

Det är visserligen även min förhoppning; ändå tror jag, att det i det här fallet är ändamålsenligt och till nytta att tillfoga, om inte ett förord, så åtminstone några anmärkningar gjorda i efterhand, där författarens målsättning förtydligas och där de överväganden meddelas som fick honom att välja framställningsform och har väglett honom under skrivandets gång. Just den idag föga brukliga form, i vilken jag här för fram mina tankar, synes mig kräva en förklaring, om så bara för att undvika eventuella missförstånd. Jag har fogat in dessa anmärkningar i en efterskrift, emedan det är min önskan, att läsarna tar kännedom om dem först efter läsningen av dialogerna.

Intresset för matematiken och dess tillämpningar växer från år till år, och allt fler människor önskar förvärva matematiska kunskaper. Under mitt arbete, som jag uträttat på olika områden i detta sammanhang, har jag gjort den erfarenheten, att det därvid inte enbart är tillägnandet av konkret matematisk kunskap som eftersträvas, utan att många även – eller till och med i första hand – önskar veta vad matematik egentligen är, vad som är speciellt med dess metoder samt vad den kan åstadkomma för andra fackområden. I själva verket väntar sig många vetgiriga inte att de skall få lära sig vissa räkneprocedurer av populära föredrag och böcker, de önskar snarare fördjupa sin allmänbildning och vidga sin horisont. Och många, som i sin dagliga gärning behöver använda sig av vissa matematiska hjälpmedel, skulle, innan de underkastar sig den många gånger inte obetydliga mödan att lära sig behärska dessa, vilja veta vad de kommer att få ut av det hela.

Under min verksamhet som matematiker har jag också gjort den erfarenheten, att felaktiga uppfattningar om matematikens principiella frågor och dess tillämpningar är utbredda, och det nog inte bara bland människor, som är främmande för matematiken, utan även bland sådana, som i sitt arbete kommer i beröring med det ena eller det andra matematiska området. Men i grunden är detta inte att förvåna sig över; ty risken för en felaktig generalisering är störst hos människor, som visserligen har en viss fackkunskap i särskilda frågor, men som inte har tillräckligt vid överblick över hela fältet. Matematikens principiella frågor och dess tillämpningar diskuteras i våra dagar ofta även av matematiker av facket. Därför är vårt ämne särskilt aktuellt.

Att dryfta dessa problem på ett i vida kretsar förståeligt sätt är likväl inte någon enkel uppgift. Fördenskull sökte jag en form, ägnad att föra detta abstrakta ämne närmare dem för saken intresserade. Så kom jag på tanken att experimentera med den sokratiska dialogen. Den sokratiska dialogen är inte bara till formen, utan också till innehållet dialektisk, i det den visar på idéerna under tillkomst och utveckling; idéerna dramatiseras så att säga. Det håller läsarens uppmärksamhet vid liv och underlättar avsevärt förståelsen.

Som ämne för den första dialogen har jag valt frågan om matematikens väsen. Jag anser även behandlingen av det problemet vara viktig just därför att den matematiska skolundervisningen ännu idag har långt till att ge en omfattande, riktig och tidsenlig bild av matematiken. I denna dialog har jag försökt att även vad gäller stilen så vitt möjligt följa Platons dialoger. Genom att jag valt Sokrates som huvudperson, utspelar sig dialogen i det tidsskede då matematiken blev till självständig vetenskap; jag kunde följaktligen presentera den så att säga "in statu nascendi". I dialogen går Sokrates till väga i enlighet med sin berömda, efter honom uppkallade metod, att genom frågor angripa sakens väsen. Det hör till särdragen hos den sokratiska dialogen, att inte två olika uppfattningar drabbar samman, utan att parterna bemödar sig om att gemensamt finna lösningen på det behandlade problemet. De stöder sig därvid på den logiska analysen av de diskuterade begreppen och arbetar sig stegvis fram till den riktiga ståndpunkten. Det hör således till en sådan dialogs väsen, att det under samtalets gång fälls yttranden – många gånger i mycket kategorisk form –, som i en senare fas av diskussionen av deltagarna inses vara ohållbara samt modifieras eller helt uppges. Därför är det alltid möjligt att ur en sådan dialog välja ut satser, som betyder motsatsen till det som blir det slutliga resultatet. En sokratisk dialog är alltså en organisk helhet och kan bara förstås på rätt sätt, om man läser igenom den från början till slut – om möjligt utan avbrott. Alla dessa särdrag gör den sokratiska dialogen mycket levande, så att den formen synes speciellt ägnad att behandla komplicerade och abstrakta frågor på ett allmänt begripligt sätt.

Det finns även ett annat skäl för att jag har valt den här formen. Enligt mitt förmenande, såsom jag också låter komma till uttryck i Sokrates avslutande ord, är den sokratiska metoden till sitt väsen nära besläktad med matematikens metoder. Jag har avsevärt bestyrkts i denna min övertygelse av Árpád Szabós grundläggande undersökningar, som kastat nytt ljus Över tillkomsten av den klassiska grekiska matematiken.

Den sokratiska dialogen blev uppläst första gången år 1961 i Budapest och utkom i häfte 3, sid. 40-56, i årgång 1962 av tidskriften Valóság. År 1962 föredrogs dialogen vid ungerska institutet i Paris och publicerades i Les Cahiers Rationalistes, häfte 208-209, sid. 4-32. Vid den amerikanska fysikerkongressen i Edmonton, år 1963, föredrog jag den på engelska; den avtrycktes i Canadian Mathematical Bulletin, häfte 3, sid. 441-462, såväl som i Physics Today, årgång 17, sid. 24-36 (1964) samt senare även i Simon Stevin, årgång 39, sid. 125-144 (1964). Det fördelaktiga gensvar, som denna dialog rönte hos matematiker och ickematematiker, uppmuntrade mig till vidare experimenterande med dialogformen.

Eftersom i den första dialogen förhållandet mellan matematik och verklighet endast diskuterats i allmänna drag, med avseende på principiella och filosofiska aspekter, satte jag i den andra dialogen problemet om matematikens tillämpningar i medelpunkten. Huvudpersonen i denna andra dialog måste naturligtvis bli Arkimedes, den förste mästaren inom den "tillämpade matematiken", vars namn redan under antiken var oskiljaktigt förbundet med matematikens praktiska tillämpningar. Dialogen föredrogs första gången vid universitetet i Toronto och utkom på engelska i Ontario Mathematics Gazette, häfte 2, sid. 28-40 (1964) och därpå i Simon Stevin, årgång 39, sid. 3-17 (1965). Här begränsade mig visserligen den historiska ramen på så sätt, att jag inte kunde framställa allt det jag ville ha sagt rörande detta viktiga problem.

Så tillkom min tredje dialog, i vilken Galilei är huvudpersonen, som i modern tid var den förste att inse matematikens avgörande betydelse för fysiken och förkunnade detta med stor övertygelseförmåga. Dialogen föredrogs i Joliot-Curie-kretsen för unga fysiker vid centrala forskningsinstitutet för fysik i Budapest samt publicerades i förkortad version i Fizikai Szemle, häfte 15, sid. 129-138 (1965). Den andra och den tredje dialogen kompletterar varandra och utgör tillsammans den organiska fortsättningen på den första. Från denna skiljer de sig visserligen väsentligt vad beträffar formen. Givetvis följer Arkimedes och Galilei inte Sokrates metod, de förkunnar själva sin mening, i stället för att genom frågor få sin samtalspartner att komma fram till den. I enlighet därmed måste jag avstå från det som är huvudkällan till den inre spänningen i den sokratiska dialogen; jag har försökt avhjälpa denna brist, genom att låta samtalen äga rum i spännande och ödesdigra historiska situationer, vilkas dynamik är oskiljaktigt förbunden med de till diskussion upptagna frågorna och därigenom förstärker den inre spänningen. Vad beträffar kretsen av behandlade problem, så var det möjligt, genom att Arkimedes och Galilei framträder i dessa dialoger, att där beröra avsevärt mer konkreta matematiska begrepp och resultat än i den första dialogen, i huvudsak naturligtvis sådana som härleder sig från Arkimedes eller Galilei. De flesta av de problem som sysselsatte dem berörs i dialogerna.

I det här sammanhanget vill jag säga något om hur jag gått tillväga när det gäller den historiska sanningen. Så vitt möjligt har jag undvikit anakronismer; jag har sålunda särskilt gett akt på, att de samtalande i dialogerna på intet sätt röjer matematiska eller andra kunskaper, som de inte kunnat ha på sin tid. Men eftersom Arkimedes och Galilei var banbrytare och deras uppfattningar, även sedda med våra ögon, i många avseenden kan betecknas som moderna, så har denna inskränkning inte hindrat mig från att säga allt vad jag ville ha sagt rörande de behandlade problemen. Visserligen måste jag vid valet av matematiska exempel på grund av denna inskränkning hålla mig övervägande inom området för den elementära matematiken; med andra ord, jag kunde bara gå in på den högre matematiken i så måtto som Arkimedes och Galilei, som ju beredde väg för denna, själva gjorde så. Men denna inskränkning medförde även vissa fördelar; jag var nämligen därigenom tvungen att undvika sådana matematiska begrepp, som endast svårligen skulle förstås av icke-matematiker. Annars har jag väl inte hållit mig så strängt till den historiska sanningen, att jag blott skulle ha tillskrivit mina personer sådana kunskaper, som vi vet att de hade. Någon gång har jag låtit dem yttra tankar, som de kan ha haft, även om inga bevis föreligger för att de verkligen hade dem. Den friheten har jag i huvudsak tillåtit mig i samband med överväganden, som omedelbart följer ur idéer förknippade med Arkimedes och Galileis namn, så att det är tänkbart att de hade kommit på dessa tankar. Det är givet att i de fall, där det är välkänt att de hade felaktiga föreställningar, den historiska sanningen har tvingat mig att tydligt framställa detta. Sålunda vet vi exempelvis att Galilei var av den åsikten, att planeterna skulle röra sig runt solen efter cirkelformiga banor; han visste inte, att planeterna hålls i sina banor runt solen av tyngdkraften. I enlighet härmed gör Galilei i min dialog utsagor, om vilka vi idag vet att de är falska.

Å andra sidan har jag tagit mig friheten att göra så djärva antaganden, som att Arkimedes hade aningar om vissa föreställningar inom cybernetiken samt hade planerat en maskin som sållar ut primtal* eller att Galilei, när han under processen år 1633 läste om sin "Dialog om de två viktigaste världssystemen", började tvivla på den av honom själv uppställda (oriktiga) förklaringen till fenomenet med ebb och flod. Dessa hypoteser kan jag inte belägga genom några dokument; jag kan bara säga, att det är tänkbart att de är sanna samt att de inte kan vederläggas av för oss kända fakta. Det är min mening, att "den poetiska friheten" rättfärdigar sådana antaganden. Vad beträffar de historiska fakta som berörs i andra och tredje dialogerna, således belägringen av Syracusa och processen mot Galilei, har jag bemödat mig om att på alla väsentliga punkter värna om den historiska sanningen, bortsett från ett enda ställe, där jag – medvetet – avvikit från denna: I den andra dialogen leder kung Hieron försvaret av Syracusa (år 212 f. Kr.), under det att han i verkligheten dog redan tre år tidigare. I båda dialogerna talas om vissa hypotetiska händelser, som inte är bevisade, men som kan ha ägt rum. Det gäller i första hand planen att befria Galilei; vi känner inte till något bevis för att Torricelli och hans vänner, som faktiskt kallade sig galileaner, skulle ha befattat sig med någon sådan plan. Det är emellertid fullkomligt tänkbart att de hade den avsikten.

Jag fick ofta möjlighet att tillskriva mina personer satser, vilka nära nog ord för ord överensstämmer med utläggningar, som förekommer i deras verk eller som tillskrivits dem av deras samtida. Exempel på sådana satser är några utsagor av Sokrates samt de ord som Arkimedes yttrar om sin metod och Galilei om språket i naturens bok. Dessa, och endast dessa, har tryckts kursivt. Jag har bemödat mig om att så långt det har varit möjligt tänka mig in i de historiska situationer som behandlas samt att troget skildra mina personers karaktärer i enlighet med det bevismaterial som står till vårt förfogande. När det gäller dialogen om Galilei har László (Ladislaus) Némeths skådespel påverkat mig avsevärt; från detta drama har jag också hämtat idén till att låta Torricelli och fru Niccolini framträda.

För de läsare, som önskar utförligare information rörande de i dessa dialoger berörda vetenskapliga och historiska frågorna, har jag bifogat en litteraturförteckning. Den gör inga anspråk på fullständighet, tvärtom har angetts endast de verk, som har varit till särskilt stor nytta vid materialets sammanställande.

Så mycket har jag trott mig böra redogöra för de avsikter och principer, som varit vägledande för mig vid författandet av dessa dialoger. Läsaren må bedöma, i vilken utsträckning jag har lyckats nå de mål jag satt.

* En sådan maskin planerade först D. H. Lehmer (American Mathematical Monthly, 1933, sid. 401-406).

Plato, Sämtliche Werke, Verlag L. Schneider, Berlin und Heidelberg 1950.
Platón, összes müvei, I-II. Magyar Filozófiai Társaság, Budapest 1943.

Szabó Árpád, Hogyan lett a matematika deduktív tudománnyá. I. Matematikai Lapok 8 (1957) 8-36

Szabó Árpád, A görög matematika definíciós-axiomatikus alapjai. Matematikai Lapok 10 (1959) 72-121.

Szabó, Á., Der älteste Versuch einer definitorisch-axiomatischen Grundlegung der Mathematik. Osiris 14 (1962) 308-369.

Heath, T. L., The works of Archimedes with the method of Archimedes, Dover Publ., New York 1960.

Plutarch, Vitae parallelae (tyska), Artemis-Verlag, Zürich und Stuttgart 1954-55.
Plutarchos, Párhuzamos életrajzok.(ungerska) Görögből ford. és jegyzetekkel ellátta Dr. Kacskovics Kálmán, Budapest 1895, II. kötet, 119-159.

Archimedes, Kugel und Zylinder, Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften Nr. 202, Akad. Verlagsgesellschaft m. b. H., Leipzig 1922.

Archimedes, Die Quadratur der Parabel und über das Gleichgewicht ebener Flächen oder über den Schwerpunkt ebener Flächen, Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften Nr. 203, Akad. Verlagsgesellschaft m. b. H., Leipzig 1923.

Galilei, G., Dialog über die beiden hauptsächlichsten Weltsysteme, das ptolemäische und das kopernikanische, B. G. Teubner, Leipzig 1891.
Galilei, G., Párbeszédek a két legnagyobb világrendszerről, a ptolemaiosziról és a kopernikusziról. Ford. M. Zemplén Jolán. Európa Könyvkiadó, Budapest 1959.

Galilei, G., Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreffend, Ostwald's Klassiker Nr 25, Akad. Verlagsgesellschaft m. b. H., Leipzig 1921 (Leipzig Verlag von Wilhelm Engelmann, 1891)

Geymonat, L., Galileo Galilei, Einaudi, Torino 1957. Geymonat, L., (Gondolat, Budapest 1961.)

Galileo Galilei, 1564-1964, Вопросы истории естествознания и техники 16 (1954), Наука Москва.